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DECLARACIONES LOGICAS SOBRE LAS PROPOSICIONES
Jean BERNOULLI I. Si,
al comparar ideas, encontramos que una conviene o no conviene a otra, esta acción
de la mente se llama juicio. II.
Y, cuando unimos o separamos entre sí tales ideas por medio de la cópula
“es”, ya explícita, ya implícita, formamos una enunciación o proposición;
la cual será afirmativa, si unimos ideas, y negativa, si las
separamos. III.
Las ideas de las que [algo] se predica, esto es, se afirma o se niega,
son el sujeto; las demás, que se predican, son el predicado de la
enunciación. IV.
Si el sujeto se toma en toda su amplitud o extensión, la enunciación se
llama universal; exceptuando el caso en el que el sujeto es un término
singular, pues entonces la enunciación se dice singular. V.
Pero, si se restringe a una parte indeterminada de su extensión, será particular. VI.
Si toda una idea se contiene cabe otra, ¿podrá siempre afirmarse
universalmente de ésta? Sí, pues ya que todo lo que concibo en figura
también lo concibo en triángulo, puedo formar esta proposición
universal: “Todo triángulo es figura”, y esta universalidad puede llamarse esencial,
a diferencia de la accidental. VII.
En efecto, son proposiciones accidentalmente universales aquellas
en las que la idea del predicado no se contiene cabe la idea del sujeto. Por
ejemplo, “Todo hombre es mortal” es una enunciación universal accidental,
pues la idea de la mortalidad no se comprehende en la idea de hombre. VIII.
De aquí que todas las proposiciones en las que el género, o la
diferencia, o ambos, se afirman universalmente de la especie, son universales
esenciales; pero éstas no merecen como propio el nombre de proposición, y más
correctamente pueden llamarse proposiciones verbales, a saber, en cuanto
que consisten en meras palabras; pues no junto dos o más ideas si predico de sí
misma una y la misma, o parte de ella, designada con diverso nombre. IX.
Una y la misma proposición puede ser universal esencial bajo un respecto
y accidental bajo otro respecto; así, si digo “Toda parábola tiene cuadrados
proporcionales a las abscisas de las aplicadas”, si la proporcionalidad de las
abscisas y de los cuadrados de las aplicadas se toman como la diferencia de la
parábola, la proposición será universal esencialmente; pero si se toman como
propio, entonces será universal accidentalmente. X.
Una y la misma idea puede convenir a muchas otras muy diversas; de aquí
que el predicado de la enunciación afirmativa, aunque sea universal, no se toma
universalmente, sino sólo según una parte de su extensión, en la cual
conviene con el sujeto. XI.
De lo cual se sigue que la proposición universal afirmativa no puede
convertirse de manera simple. XII.
Si alguna idea no conviene a otra, es evidente que no le conviene a ella
misma según toda su extensión; de aquí que el predicado de la enunciación
negativa, aunque sea particular, se toma de manera universal. XIII.
De aquí también [se sigue] que la proposición particular negativa no
se convierte de manera simple. XIV.
A las dos especies de oposiciones: la contrariedad y la contradicción,
puede añadirse una tercera, compuesta de ambas; a saber, la que resulta de una
enunciación singular, por ejemplo “Guillermo es rey” –
“Guillermo no es rey”. Pues estas enunciaciones pueden ser
contrarias, porque sólo difieren en cualidad, y convienen en cantidad, en
cuanto que ambas singulares son equipolentes a una universal; pero también son
contradictorias, porque siempre será una verdadera y la otra falsa, lo cual sólo
compete a la contradicción. XV.
Si dos proposiciones contrarias son ambas falsas, necesariamente las dos
subcontrarias serán verdaderas; y recíprocamente, conservando el mismo sujeto
predicado de las proposiciones. XVI.
Pero, si una de las contrarias es verdadera, necesariamente una de las
subcontrarias será verdadera y la otra falsa. XVII.
Las enunciaciones afirmativas se pueden cambiar (permaneciendo el mismo
sentido) en negativas, y, viceversa, las negativas en afirmativas. Pero, ya
cambiadas, tendrán el predicado que en las Escuelas se llama infinito,
por la adjunción de la partícula “no”. Así, esta enunciación afirmativa:
“Todo hombre es pecador”, se cambia en esta negativa equivalente: “Ningún
hombre es no pecador”. Y esta negativa: “Ninguna materia piensa”, se
convierte en esta afirmativa: “Toda materia es no pensante”. XVIII.
De aquí resulta patente por qué razón los cuatro modos de los
silogismos de la primera figura se pueden reducir sólo a dos, pues los
silogismos en Celarent y Ferio se cambian a Barbara y Darii.
Así también los seis modos de los silogismos de la tercera figura se reducen a
tres, pues también Felapton, Bocardo y Ferison se cambian
a Darapti, Disamis y Datisi. XIX. En
lo cual hay que notar que por esta razón todos los silogismos de la primera y
tercera figuras, que concluyen negativamente, pueden cambiarse a otros que
concluyen afirmativamente. XX. Los
silogismos de la segunda figura ciertamente se pueden reducir a dos modos, a
saber, cambiando Cesare a Camestres y Festino a Baroco,
o a la inversa; pero siempre concluirán negativamente. XXI. La
razón de esto es que, en la primera y en la tercera figuras, la proposición
mayor y la conclusión se cambian en sus infinitas, y la proposición menor
permanece; pero en la segunda figura, permaneciendo la conclusión, la mayor y
la menor se dan infinitas. XXII.
A las tres especies de enunciaciones, la de las simples, la de las
complejas y la de las compuestas, se puede añadir una cuarta, la
de las vagas, a saber, en las que el sujeto no se determina ni
expresamente ni por el sentido, como son las interrogativas e
imperativas; pues en éstas el sujeto se puede suplir a voluntad, como en ésta:
“Detén el paso, caminante”. Para determinar el sujeto de esta enunciación,
se puede convertir en ésta: “Es mi voluntad que detengas el paso”, donde
“mi voluntad” será el sujeto. Pero, si la convirtiese en ésta: “Tú,
caminante, te pido que detengas el paso”, tendrá como sujeto “Tú,
caminante”. XXIII.
De manera igual, ésta: “Di por qué” es vaga, es decir, una que
admite varios sujetos. Pero, hablando con propiedad, tales expresiones no son
enunciaciones, pues la intención del hablante no es afirmar ni negar algo, y,
por eso, consideradas en sí mismas, no son verdaderas ni falsas. XXIV.
Así, pues, la operación de la mente que estas expresiones producen en
aquel a quien se profieren es como algo intermedio entre la simple aprehensión
y el juicio. Pues suscitan algo más que una simple aprehensión; porque la
mente no se aquieta en la mera contemplación de las ideas, sino que además se
determina a responder o a hacer aquello que se desea. Pero suscitan menos que el
juicio, a saber, porque la mente no forma ni la conveniencia ni la
disconveniencia de las ideas, esto es, ni afirmación ni negación. XXV.
Se dan enunciaciones en las que el sujeto puede tomarse por la parte del
predicado, y la parte del predicado como sujeto; las cuales, por eso, pueden
llamarse indiferentes, como lo es ésta: “No a cualquier hombre le
acontece ir a Corinto”, donde “algún hombre” es el sujeto, porque de él
se predica que no puede “ir a Corinto”; pero también “ir a Corinto”,
que era parte del predicado, puede ser sujeto, ya que de él se predica que
“no a cualquier hombre le acontece”. XXVI.
Del mismo modo, en esta proposición: “Sólo a Dios la gloria”, el
sujeto puede ser uno u otro, tanto “Dios” como “la gloria”; aquél,
porque de “Dios” se afirma que sólo a él se le debe la gloria; y éste,
porque de “la gloria” se afirma que sólo se le debe a Dios;
pero, cualquiera que se tome como sujeto, el otro será parte del predicado. XXVII.
Si a las enunciaciones iniciativas y cesativas [o de “incipit”
y “desinit”, i.e. las que llevan “comienza” y “termina”], que
vulgarmente se llaman exponibles, esto es, a aquellas que son compuestas en el
sentido, se les puede añadir una tercera especie, la de las continuativas,
con el mismo derecho también añadimos una cuarta, la de las intermisivas,
en las cuales las cosas se hallan en un estado en el que, puesto que han de
salir, todavía no existen; como cuando digo: “La guerra entre los franceses y
los alemanes todavía no está acabada”. XXVIII.
Aun
cuando las continuativas y las intermisivas parecen ser una y la
misma cosa, ya que en ambas se dice que las cosas permanecen en su estado; sin
embargo, establecemos entre ellas la misma diferencia que se da entre las iniciativas
y las cesativas; pues también en estas dos se dice que las cosas que tenían
antes un estado, ya no lo tienen más. XXIX.
Por otra parte, a éstas se les pueden agregar otras especies de
exponibles, a saber, las adventivas, como “Pronto tendremos el
solsticio de invierno”; las preteritivas, como “Hace tiempo el
ingenio era más precioso que el oro”; y las presentativas, como
“Pero ahora es gran barbarie no tener nada”. XXX.
En efecto, todas estas enunciaciones son compuestas en el sentido; pues,
afirmando o negando una cosa, al mismo tiempo tácitamente afirman o niegan otra
cosa. XXXI.
Y de este modo hay muchas enunciaciones que, consideradas como simples,
se pueden trasladar a las exponibles. ANEXOS VARIOS I.
Toda enunciación universal puede considerarse no sólo como compleja,
sino además como compuesta. II.
Las enunciaciones universales afirmativas en las que la diferencia se
predica de la especie no pueden convertirse de manera
simple, en contra del autor del Ars Cogitandi (Arte de
pensar). III.
La demostración que el mismo autor hace de que el número de los modos
del silogismo son diez, es insuficiente, pues sólo demuestra que no pueden ser
más, pero no que no puedan ser menos. IV.
Este silogismo: “Todo hombre honesto puede decir mentira; pero ningún
hombre honesto es vicioso; luego alguien que no es vicioso puede decir
mentira”, concluye muy bien, aunque parece pecar contra la última ley general
y contra la primera de la tercera figura. V.
Diciendo la verdad, a veces mentimos; y, a la inversa, diciendo la
mentira, no siempre mentimos. VI.
Un hombre viciosísimo puede a veces hacer una acción preclara de
virtud. VII.
La regla de la proporción que se da en el Sistema Heerebordiano:
“Cuando una de dos cosas conviene a una tercera singular e incomunicable, no
conviene a la otra, y también éstas no convienen entre sí”, es falaz; y el
ejemplo que allí se añade sólo es verdadero por accidente. Pues de que a
Aristóteles le haya convenido ser filósofo y no le haya convenido ser
ateniense, ineptamente se deduce: “Luego algún ateniense no fue filósofo”;
pues ciertamente todos los atenienses podían haber sido filósofos; pero, a fin
de que se vea más patentemente lo absurdo de esta secuela, en lugar de “filósofo”
substitúyase “hombre”, y así se seguiría que, porque a Aristóteles le
convino haber sido hombre, y no le convino haber sido ateniense, algún
ateniense no fue hombre, lo cual es absolutamente ridículo. VIII.
El principio: “No se da salto en la naturaleza de las cosas” es
fecundísimo, pues con un golpe se destruyen los tres elementos de
Descartes. IX.
Con la suposición del vacío diseminado se puede explicar muy cómodamente
la naturaleza del movimiento, pues sin este vacío toda la mole del universo sería
algo compacto, durísimo e inmóvil. X.
Por ello también ayuda el decir que la naturaleza del cuerpo todavía no
ha sido completamente considerada; y, por la suposición del lleno, se llegaría
a semejantes inconveniencias. XI.
Querer explicar la naturaleza de la reflexión y
la refracción por este axioma: “La naturaleza hace el camino más breve”,
es explicar lo obscuro por algo igualmente obscuro. Añádase que, en cuanto a
la reflexión, eso no tiene lugar sino en las superficies convexas, planas y
algunas cóncavas; pues en muchísimas otras hace un camino más largo. XII.
Quien de la gravedad de aire deduce la suspensión del mercurio en el barómetro,
ese tal no ha considerado suficientemente la naturaleza del aire. XIII.
Se puede tener la idea no sólo de una cosa no existente, sino aun
imposible. XIV.
Se dan extensos cuyas partes no son contiguas. XV.
Se dan grados en el reposo, esto es, un reposo mayor que otro, o un
cuerpo reposa más que otro. XVI.
Si un ratón orina en el mar, todo el océano se conmueve. XVII.
El elemento del cuerpo grave (a saber, aquella partícula del cuerpo que
no tiene poro, o que se intercala entre dos poros próximos) es un infinito de
infinitas veces mayor que el más grande glóbulo de materia etérea, por cuyo
impulso se causa la gravedad de los cuerpos. XVIII.
La mínima fuerza de percusión es mayor que la máxima fuerza de peso. XIX.
El rayo visivo o solar no procede en línea recta, sino en línea curva. XX.
La Luna no es más planeta que los satélites de Saturno o de Júpiter. XXI.
La luz que se observa en el plano de la elíptica, durante el tiempo de
los equinoccios, antes del nacimiento y después del ocaso del Sol, y que hace
pocos años fue detectada por el Sr. Casino, astrónomo regio parisiense,
maravillosamente confirma el vórtice del Sol y de la Tierra, y la giración
circular de los demás planetas. XXII.
Todo número primo difiere en una unidad del múltiplo del senario,
exceptuando el 2 y el 3. XXIII.
Por eso se da una ley cierta en la progresión de los números primos, la
cual, por lo que sé, no ha sido observada hasta ahora por nadie. Y es ésta:
Construidas dos series, una de las cuales contenga múltiplos del senario
disminuidos en una unidad, y otra con esos múltiplos aumentados en una unidad;
si de esas series se extraen los que nacen de la multiplicación de un
precedente por sí mismo, y de dos precedentes cualesquiera (pues puedo mostrar
que todos los números compuestos contenidos en estas dos series se producen por
la multiplicación de dos de los precedentes, o son los cuadrados de los
precedentes), todos los demás serán todos los números primos posibles que se
encuentran en la serie natural de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.,
exceptuando el 2 y el 3. XXIV.
Mi solución al problema de construir las raíces de las ecuaciones por
medio de la porción de una curva dada, que hace no mucho tiempo apareció en el
Diario Parisiense*, es legítima; y las objeciones que agitó en
contrario el Autor del problema nada valen; más aún, estoy totalmente
persuadido de que, si el asunto fuera llevado ante jueces incorruptibles y
conocedores de la matemática, se me adjudicaría el premio prometido al primero
que lo resolviera. *Cf. Supra, n. XIII. Véanse los núms. XII-XVI. XXV.
Las objeciones del Sr. Papini (Véase Act.
Erud. Lips., año de 1691, mes de mayo) contra mi móvil
perpetuo** caminan con paso igual; pues más bien confirman su posibilidad que
la destruyen. ** En el Apéndice al núm. I, pág. 41. XXVI.
Del solo hecho de que las curvas
espirales no pueden ser geométricas, en cuanto que se cortan por una línea
recta en infinitos puntos, se infiere legítimamente que son imposibles las
cuadraturas y las rectificaciones del círculo, de los demás espacios y de las
curvas que vuelven sobre sí mismas. XXVII.
En [el] lugar de Coronides Cl. se propone a los Competidores el siguiente
Problema; cuya solución intentarán con sus métodos, ya sintéticos, ya analíticos:
En alguna parte de los lugares se observa, teniendo el sol una altitud meridiana
de 45 grados, que la extremidad de la sombra proyectada desde un bastoncillo a
un plano horizontal erecto verticalmente, describe en ese día una parábola
cuyo eje transverso iguala la longitud del bastoncillo. Se pregunta en qué
lugar de la Tierra, y en qué día del año, fue hecha esta observación. R/.
----- *** Nuestra solución la pondremos en conflicto con el que lo solicite. *** Es manifiesto a los que observen la
figura (Tab. IV, n. XVII) en la que AB sea el eje del mundo; HO, el horizonte;
ho, el plano horizontal; Z, el Cenit; N, el Nadir; CS, el bastoncillo cuyo ápice
es C; AEQ, el Ecuador; PN, el paralelo descrito por el Sol el día buscado; PCN,
el cono luminoso; ZCp, el cono sombreado, cuya sección lkm es la
hipérbola hecha por el plano horizontal que tiene el eje transverso ls,
igual al bastoncillo CS; es manifiesto, digo, que los ángulos SCl, lCO
y HCP, así como el arco HP, son de 45º y HN de 90º. Luego NHP es de 135º,
cuya mitad, PA, es de 67º 30’. Por lo cual, quitado PH, de 45º, quedan HA o
BO, la elevación del polo, 22º 30’; de lo cual resulta el lugar de la
Tierra. Además, quitando PA, de 67º 30’, de AAE, de 90º, queda AEP, la
declinación del sol, de 22º 30’, de la cual resulta el día del año.
Observaciones que
intentan marcar la importancia de las Declaraciones
lógicas sobre las proposiciones
de Joannes Bernoulli. Mauricio BEUCHOT Núms. I-V: Expone la
teoría tradicional de la predicación. Núms. VI- IX: Contienen
una teoría novedosa sobre la proposición cuantificada universalmente, dividiéndola en universal esencial y universal
accidental (no utilizada en la escolástica).
Reduce la proposición universal esencial, que para los escolásticos era la más
propia (perteneciente a los modi dicendi per se), a
una proposición meramente verbal. Núms. X-XIII: Prueba de
una manera diferente la teoría tradicional de la conversión de las
proposiciones. Núm. XIV: Innovación
al introducir otra especie de oposición no considerada por los lógicos escolásticos. Núms. XV-XVI:
Consideraciones interesantes sobre las reglas de verdad de las contrarias y
subcontrarias. Núm. XVII: Añade una
especie nueva de la conversión por contraposición. Núms. XVIII-XXI:
Consideración novedosa sobre el número de los modos silogísticos y su reducción. Núms. XXII-XXIV: Análisis
de las oraciones no-asertivas muy cercano a las oraciones “performativas” de
Austin y Searle. Núms. XXV-XXVI: Análisis
del sujeto y el predicado muy próximo a la interpretación
de Geach sobre el esquema proposicional de Frege. Núms. XXVII-XXXI:
Interesantes observaciones sobre las proposiciones exponibles de los escolásticos,
tratando las que influyeron especialmente en el desarrollo de la física: las de
“incipit” y “desinit”, y añadiendo otras: las
continuativas, las intermisivas, las adventivas y las preteritivas.
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