Encuesta de opinión sobre algunas preguntas significativas respecto a la práctica matemática

Gonzalo Tornaría y Mario H.Otero

La formulación de las preguntas de la encuesta estuvo a cargo del segundo autor y el análisis de las respuestas a cargo del primero.

La presente contiene una versión preliminar de los resultados de la encuesta. La segunda versión contendrá una mayor elaboración de los resultados teniendo en cuenta los comentarios que los lectores estimen necesario comunicarnos. Eventualmente se incluirá tambien alli el texto completo de las respuestas al cuestionario, sin el nombre de quienes asi respondieron.

Objetivo.

Dado el grado de avance de la investigación matemática en el país, se realizó la presente encuesta a fines de conocer algunas variables de opinión, en general no estrictamente matemáticas, que de todos modos entran en juego en la referida investigación.

Condiciones de la encuesta.

Los sujetos de la presente encuesta de preguntas ‘abiertas’ fueron los grados 3 a 5 del Centro de Matemática (CMAT) de la Facultad de Ciencias y del Instituto de Matemática y Estadística ‘Rafael Laguardia’ (IMERL) de la Facultad de Ingeniería, y los investigadores del Área de Matemática del PEDECIBA.

El total de invitados a participar fue de 38 personas, de los cuales respondieron 23 (61%). La composición de los encuestados según su grado como docente del CMAT o del IMERL, y según su grado como investigador del PEDECIBA, se detalla en las dos tablas siguientes:

Las preguntas se disponen en cuatro grupos y de ningún modo deben considerarse exhaustivas de las variables teóricamente interesantes.

Cuestionario

Parte A.

1.     ¿Cuándo una demostración es considerada por Ud. aceptable?

2.     Aparte de las demostraciones estrictamente deductivas provenientes del modelo euclideano, ¿considera matemáticamente aceptables

a)     las demostraciones probabilísticas[1]?

b)     las efectuadas mediante el uso de computadoras?

¿Considera especialmente convenientes las demostraciones constructivas?

2.1  En particular, ¿qué valor tienen los siguientes resultados?

i)      La demostración conocida del llamado teorema de los  cuatro colores, una de cuyas partes importantes es efectuada  por computadora, no conociéndose otras formas de producirla.

ii)    El llamado teorema de clasificación de grupos simples finitos. La demostración de esta propiedad fue ‘construida’ por Daniel Gorenstein a partir de más de quinientos artículos publicados entre fines de los 40 y principios de los 80, totalizando ellos más de 15000 páginas.

3.     ¿Qué importancia — más allá de la obvia — le concede a las demostraciones?

4.     ¿Ha experimentado en su vida científica cambios en su concepto de rigor?

5.     ¿Qué entiende como conjetura matemática — en un sentido fuerte — y que importancia les atribuye?

6.     ¿Qué importancia especial atribuye a las definiciones y a su uso?

 Parte B.

7.     Los matemáticos hablan de resultados (a veces de temas, de problemas) como relevantes, importantes, profundos, y no lo hacen en un sentido meramente subjetivo, ni en forma arbitraria; según su criterio ¿a qué se refieren con ello?

Parte C.

8.     Los entes básicos — eventualmente los referidos por términos primitivos — que intervienen en la investigación matemática, ¿de qué naturaleza piensa Ud. que son?

9.     El matemático, /la vieja pregunta/ ¿descubre o inventa?

10.  ¿Qué tipo de disciplina es, según Ud., la matemática?

11.  ¿Cuál es la relación, según Ud., de la matemática con las demás ciencias (naturales o sociales)?

Parte D

12.  ¿Trabaja en equipo o solo?

13.  ¿Ud. estima grande o reducido el número de revistas que utiliza como base de su trabajo de investigación?

14.  ¿Ha utilizado el Fondo García de Zúñiga de fuentes e historiografía de la matemática?

15.  ¿Qué porcentaje del tiempo asignado a Ud. como docente de la Universidad lo dedica a investigación matemática? ¿Utiliza además tiempo fuera del indicado?

Resultados

Parte A.

1.     ¿Cuándo una demostración es considerada por Ud. aceptable?

Hay principalmente cuatro tipos de respuesta: una respuesta de tipo personal ‘lógica’, “puedo seguir el razonamiento”, dada por 11 de los encuestados; una respuesta de tipo personal más profunda, “puedo entenderla, compartirla, transmitirla”, “explica no solo qué, sino también porqué”, dada por 3 de los encuestados; una respuesta de tipo ‘social’, para la cual importa la opinión de la comunidad matemática, cantidad de citas y verificaciones, dada por 8 encuestados, 5 de los cuales también dan una de las respuestas anteriores; y un tipo de respuesta ‘formal’, para la cual la correctitud de la demostración no depende de las personas, sino que “una demostración es o no es”, dada por cuatro encuestados, uno de las cuales sugiere como criterio de aceptación que las demostraciones se puedan verificar por computadora.

Además de esto, 4 encuestados indican la necesidad de que los resultados “encajen con la teoría”, y que se puedan comprobar sus consecuencias. Uno de los encuestados pide “una cierta armonía, no lógica sino estética” en la demostración.

2.     Aparte de las demostraciones estrictamente deductivas provenientes del modelo euclideano, ¿considera matemáticamente aceptables

a)     las demostraciones probabilísticas?

Hay 14 encuestados que responden que no a esta pregunta, de los cuales 10 están entre los que dieron una respuesta de tipo personal o formal a la pregunta 1. Por otra parte hay 2 encuestados que las aceptan provisoriamente, mientras que un encuestado dice que depende del resultado. Otras opiniones son “dan información”, “suena divertido”, “divagante”, “conjetura sólida”, “son herramientas para aplicaciones”.

No hay ningún encuestado que acepte definitivamente este tipo de demostraciones.

b)     las efectuadas mediante el uso de computadoras?

Hay 16 encuestados que responden que sí a esta pregunta, 12 de los cuales respondieron que no a la pregunta anterior. Seis de estos encuestados se preocupan por aclarar que es necesario demostrar la correctitud de los programas. Un encuestado las acepta provisoriamente. Dos encuestados no aceptan estas demostraciones, uno de los cuales argumenta que “dependen de algo físico”. Otra opinión es que “dan información”.

Un comentario muy interesante es el siguiente: “las computadoras son una herramienta y decir que estoy contra las demostraciones hechas con el auxilio de las computadoras es como decir que estoy contra las demostraciones escritas con un lápiz mecánico.”

¿Considera especialmente convenientes las demostraciones constructivas?

Hay 17 encuestados que de un modo u otro ven cierta conveniencia en este tipo de demostraciones. Para 6 de estos encuestados, la conveniencia está dada por facilitar la comprehensión y la comunicación, o por motivos pedagógicos. Otros 4 encuestados ven su importancia para aplicaciones, porque permiten calcular o aproximar soluciones a los problemas. Para dos de los encuestados, son convenientes “a veces”. Finalmente, para un encuestado simplemente son “particularmente agradables”.

2.1  En particular, ¿qué valor tienen los siguientes resultados?

i)      La demostración conocida del llamado teorema de los  cuatro colores, una de cuyas partes importantes es efectuada  por computadora, no conociéndose otras formas de producirla.

ii)    El llamado teorema de clasificación de grupos simples finitos. La demostración de esta propiedad fue ‘construida’ por Daniel Gorenstein a partir de más de quinientos artículos publicados entre fines de los 40 y principios de los 80, totalizando ellos más de 15000 páginas.

En la tabla siguiente se detallan las respuestas obtenidas. Es de destacar que de los 10 encuestados que contestaron que sí a la parte (ii), salvo uno que dice no conocer el tema, los otros 9 contestaron que sí a la parte (i).

La otra respuesta para la pregunta (i) es que es una demostración provisoria. Para la pregunta (ii) una de las respuestas es que “es un espanto”, mientras que para otro encuestado “faltan resultados”. Hay también un encuestado que sugiere que “sería un capítulo estupendo para la Enciclopedia Galáctica de Asimov.”

Hay que observar que de los 16 encuestados que respondieron que sí consideran matemáticamente aceptables las demostraciones efectuadas mediante el uso de computadoras, solamente 13 consideran válida la demostración del teorema de los cuatro colores. De los otros 3 encuestados, hay 2 que no contestan esta pregunta, ¡y uno que contesta negativamente!

3.     ¿Qué importancia — más allá de la obvia — le concede a las demostraciones?

Hay 8 encuestados que se adhieren a la importancia obvia de las demostraciones. Para 10 encuestados, las demostraciones ayudan a la comprensión de los problemas: “explican por qué”. Otros encuestados hablan de “introducir métodos, ideas, conceptos nuevos”, y de “mostrar cuales son los ‘ingredientes’ esenciales” de una teoría.

4.     ¿Ha experimentado en su vida científica cambios en su concepto de rigor?

Diez encuestados responden que sí, y otros 12 que no, mientras que otro encuestado dice que nunca tuvo concepto de rigor. Es interesante destacar que todos los investigadores grado 5 entran en las últimas dos categorías.

Entre los que responden negativamente, 2 encuestados dicen que “en la práctica uno solo maneja aproximaciones” al concepto de rigor. Otro dice que no ha tenido cambios en el rigor, pero sí en la intuición respecto de los resultados.

En el caso de las respuestas afirmativas, en general se trata de una disminución de lo formal, o un aumento de la “fe” en cuanto a dar pasos omitiendo la verificación de ciertos detalles.

5.     ¿Qué entiende como conjetura matemática — en un sentido fuerte — y que importancia les atribuye?

Para 4 encuestados, es simplemente cualquier enunciado sin demostración, aunque no coinciden en la importancia: para uno es tan importante como los resultados; para otros dos es importante si implica resultados útiles, y para el cuarto, no tiene por qué ser interesante.

Para otros encuestados las conjeturas tienen que tener alguna otra cualidad. Para 6 encuestados es un resultado no demostrado pero con cierto fundamento (al que tal vez falten hipótesis). Otros 3 encuestados entienden por conjetura un enunciado correspondiente a un problema abierto que sea interesante, importante, significativo. Finalmente hay 3 encuestados para los cuales un enunciado sin demostración es una conjetura cuando es hecho por un matemático de renombre, con experiencia en el área. Estos encuestados dan importancia a las conjeturas: “abren caminos”, “guían la investigación”.

Un encuestado dice que muchas veces “lo importante no es la conjetura, sino el desarrollo de la matemática que resolverla implica.”

6.     ¿Qué importancia especial atribuye a las definiciones y a su uso?

Para 5 encuestados, las definiciones simplifican las demostraciones y aclaran las cosas. Para otros 4, las definiciones son las que determinan (y comunican) los objetos relevantes. Tres encuestados dicen que las definiciones destacan los conceptos y las propiedades importantes de los objetos. Para 4 encuestados son simplemente esenciales o importantes. Dos encuestados dicen que las definiciones abstraen condiciones o representan modelos de objetos o situaciones interesantes. Para un encuestado las definiciones no son interesantes.

Uno de los encuestados afirma que, en cierto modo, “definiciones y teoremas son en realidad lo mismo.”

Parte B.

7.     Los matemáticos hablan de resultados (a veces de temas, de problemas) como relevantes, importantes, profundos, y no lo hacen en un sentido meramente subjetivo, ni en forma arbitraria; según su criterio ¿a qué se refieren con ello?

Para empezar, 4 encuestados dicen que consideran que sí lo hacen en un sentido subjetivo.

Las restantes respuestas apelan, con matices, a la importancia que tienen los resultados dentro de una teoría: resultados clave para una teoría, resultados que dan lugar a nuevas teorías.

Parte C.

8.     Los entes básicos — eventualmente los referidos por términos primitivos — que intervienen en la investigación matemática, ¿de qué naturaleza piensa Ud. que son?

Hay 11 encuestados que no saben o no contestan. Para el resto, las respuestas son “abstracta” (3), “modelos o construcciones” (2), “axiomático”, “metamatemático”, “convencional”, “abstracciones de la realidad”, “mental”, “existen de alguna forma”, “placer y trabajo”.

9.     El matemático, /la vieja pregunta/ ¿descubre o inventa?

Para 4 encuestados el matemático descubre y para 2 inventa, mientras que para 14 son ambas: descubre resultados, propiedades, mientras que inventa enfoques, demostraciones, modelos, instrumentos.

10.  ¿Qué tipo de disciplina es, según Ud., la matemática?

Hay 6 encuestados que la califican de ciencia, si bien 4 de ellos también la califican, en mayor o menor grado, de arte. Otras 3 respuestas son: “formal”, “pseudoformal”, “deductiva”. Otra de las respuestas dice que “la matemática está más cerca de la filosofía, la teoría del derecho, y la teología, que de la biología, la química, y la física.”

Finalmente hay 3 encuestados que dicen que es algo distinto de cualquier otra cosa, difícil de encasillar.

11.  ¿Cuál es la relación, según Ud., de la matemática con las demás ciencias (naturales o sociales)?

La mayoría de los encuestados que responden a esta pregunta, relacionan la matemática con las ciencias naturales, con exepción de la respuesta ya mencionada en la pregunta anterior, que coloca a la matemática “más cerca de la filosofía, la teoría del derecho, y la teología, que de la biología, la química, y la física.” Para este encuestado, la matemática “tiene con respecto a estas últimas la misma relación que tiene la lingüística con la geografía en la medida que ésta última sólo se puede expresar en algún lenguaje.” Podría decirse entonces, que la matemática es el lenguaje de las ciencias naturales.

Otras respuestas señalan una realimentación entre la matemática y otras ciencias (naturales), en la cual la matemática brinda herramientas, modelos, mientras que las otras ciencias proporcionan problemas matemáticos, y en algunos casos las experiencias pueden llevar a descubrimientos matemáticos. Tres encuestados indican que la matemática es independiente de otras ciencias.

Parte D

12.  ¿Trabaja en equipo o solo?

Hay 7 encuestados que trabajan solos, 4 que trabajan en equipo, mientras que 12 encuestados trabajan de ambas formas.

13.  ¿Ud. estima grande o reducido el número de revistas que utiliza como base de su trabajo de investigación?

Hay 12 encuestados que estiman reducido (o muy reducido) el número de revistas que utilizan. Otros dos encuestados dicen que utilizan alrededor de 6 revistas, aunque no dicen si esto es mucho o poco. Tres encuestados consideran “adecuado” el número de revistas que utilizan, y otros 4 dicen que el número es grande.

14.  ¿Ha utilizado el Fondo García de Zúñiga de fuentes e historiografía de la matemática?

Solamente 4 encuestados lo han utilizado alguna vez, y en todos los casos poco.

15.  ¿Qué porcentaje del tiempo asignado a Ud. como docente de la Universidad lo dedica a investigación matemática? ¿Utiliza además tiempo fuera del indicado?

La respuesta dada por 6 encuestados es 50%, cuatro encuestados dicen dedicar más que la mitad, mientras que 9 utilizan menos que esta cantidad. Salvo un encuestado que contesta que no, y 6 que no contestan, el resto de los encuestados afirman utilizar tiempo fuera del asignado. El encuestado que utiliza más tiempo utiliza 140%, y casualmente es un investigador del PEDECIBA que trabaja en Francia.

Dos encuestados dicen que en realidad no es posible estimar el tiempo de investigación, pues uno piensa en los problemas en todo momento, desde el ómnibus, hasta la ducha.

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Última Modificación: 17 de mayo de 2008