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UNA
FILOSOFIA HISTORICA DE LAS MATEMATICAS EN
RANDALL COLLINS (1998) Mario H. Otero 1. Los escritos contemporáneos de filosofía de las matemáticas
suelen distinguirse netamente dentro del fárrago de la producción intelectual
édita por su carácter técnico, ultraespecializado.
Aquí nos ocuparemos de un conjunto de textos de filosofía histórica
de las matemáticas que aparentemente no poseen esa característica, contenidos
en una obra ya de por sí rara, The sociology of philosophies; a global
theory of intellectual change de Randall Collins. Parte del material está
comprendido en otros textos del autor que van desde 1983 a 2000 pero nos
referiremos en especial a Collins 1998 porque contiene lo substancial del tema
que nos ocupa. Más allá de las críticas de Kuhn a la filosofía histórica
de la ciencia, que contribuyó a gestar mal que le pesara (Kuhn, 1992), ésta se
encuentra hoy viva, pimpante. Y los textos que nos ocupan aquí muestran que aún
para el campo de las matemáticas esa vivacidad está en desarrollo con fuerza. El propósito del presente, breve, artículo es dar a
conocer una propuesta interesante, distinta a las filosofías de las matemáticas
más difundidas y basada en un corpus histórico nada desdeñable. De ahí
su carácter fundamentalmente expositivo. No se incluirá en él un repaso de la
metodología general de Collins 1998 que está contenida en los primeros capítulos
de la obra, ni sus consideraciones de historia de la lógica, importantes de por
sí, ni sus propuestas sobre las filosofías no occidentales. Nos limitaremos
además a sus argumentos sobre sólo dos períodos de la historia de las matemáticas. Según Collins las matemáticas son un discurso social de
la red de matemáticos, un discurso ineludiblemente histórico, la matemática
es “la más histórica de las disciplinas”,
p. 865, “...ella involucra su historia, en sus procedimientos para usar
simbolismo, en un grado que no se encuentra en ningún otro campo” (p. 869),
presupone cada una de sus etapas todas las anteriores; “la historia de
las matemáticas se corporiza en su simbolismo”( p.866). Ese “simbolismo es
una reificación... Las matemáticas tratan su simbolismo como si fueran
cosas”.(ibid). Pero ese simbolismo es provisional, nada tiene que ver con la
concepción platónica que Collins critica detenidamente. Tampoco está
destinado a sólo tautologías. Ambas concepciones son lo más opuesto al modo
de entender las cosas de Collins. Las matemáticas son sociales en sentido
fuerte. “El tópico de la matemática es operaciones, no cosas” (p. 867).
“Los números son primordialmente la actividad de contar” (ibid.); “contar
es un proceso de dividir y señalar” (ibid.). Las operaciones son sociales
desde el contar, pasando por todos los pasos intermedios, hasta los niveles más
abstractos de las matemáticas actuales. “A cada nivel las matemáticas
investigan y clasifican operaciones” (p. 868). “Los objetos de las matemáticas
son reales en el mismo sentido que la comunicación humana es real” (ibid).
“Aún podemos decir que ...que la red de matemáticos es lo que ha
crecido alrededor de la actividad central de construir técnicas para erigir
metaoperaciones que toman el contenido de las operaciones previas de la
comunidad” (ibid.). “Las matemáticas son un campo especial de
descubrimiento empírico en la medida en que “empírico” significa
investigación de experiencia en el tiempo; es la experiencia de la red matemática
de investigar lo que está implicado en las convenciones simbólicas que
adopta” (p. 869). Las matemáticas son ciertas por la repetibilidad de una
cadena de convenciones sociales. Son afirmaciones del Epílogo cuyo fundamento histórico
es desarrollado a lo largo del libro. No sólo con la tesis central de
historicidad, sino con los elementos de interpretación histórica que se dan
allí de diversos períodos, es que puede caracterizarse la de Collins como una
valiosa filosofía histórica de las matemáticas. 2. La construcción social – en el sentido de Collins,
construcción materialista - de las matemáticas superiores surge como ejemplo
privilegiado. Ello se da especialmente, según él, en dos momentos, hacia
1520-1600 y en el siglo diecinueve, sin perjuicio de tener en cuenta la
constitución del cálculo infinitesimal con Newton-Leibniz y sus desarrollos
significativos posteriores (pero anteriores al XIX) que poseen características
algo diferentes a las de aquellos dos períodos. 3. La ciencia de descubrimientos rápidos (rapid-discovery
science) – la Revolución Científica en el sentido de Collins - es el
marco producido por 1) las nuevas matemáticas, 2) la intensificación del
trabajo de las redes de ciencias naturales y 3) las nuevas filosofías (Bacon y
Descartes). Además las redes de matemáticos y filósofos de primer nivel - es
bien sabido - tienen una amplísima intersección. No es ajeno a
ese proceso la secularización de los medios de producción intelectuales con el
desplazamiento de las iglesias. Se produce “una cascada de círculos
interpersonales con sus bases de publicación respectivas /Mersenne, etc.)” (Collins,
2000a, p.184). El
capitalismo temprano y la Reforma fueron condiciones externas iniciales del
desarrollo de la ciencia de rápidos descubrimientos. Sin embargo, contra Weber
y Merton, Collins piensa que la ciencia no refleja el espíritu del Protestantismo. Por
otra parte “La ciencia de descubrimientos rápidos tecnologiza el frente de
investigación agregando, a las redes de intelectuales, genealogías de máquinas
o artefactos utilizadoc para generar nuevos fenómenos a analizar. El equipo de
investigación se propaga por el bricolage (tinkering) a partir de
equipos anteriores o por cruzamiento con otras genealogías de equipos (lentes,
bombas, baterías, nuevos instrumentos de inscripción, etc). Las teorías no
necesariamente guían la innovación del equipo sino que legitiman genealogías
de bricolage” (ibid.). 4. El descubrimiento rápido en matemáticas comienza en
1520-1550 (Ferro, Cardano, Tartaglia). con algunos antecedentes. Y precede en
dos o tres generaciones al despegue del resto de la actividad científica. No se
trata de matemáticas generales, insuficientes, sino de una forma particular de
matemáticas que llegan a constituirse en una tecnología de investigación. La
tecnología “es un conjunto de prácticas corporizadas con resultados
confiables y repetibles” (1998, p.438), y lasprácticas son materiales pues
consisten en métodos para escribir ecuaciones. Se trata de símbolos que
representan una actividad práctica mas que un conjunto de ideas. Sin embargo,
ni la notación ni las traducciones de textos, medievales o antiguos, son más
que un reflejo de la creatividad matemática y no sus causas, como a menudo se
ha sostenido. En cambio el descubrimiento de nuevos procedimientos para mejorar
los cálculos fueron más significativos. “La revolución en álgebra siguió el mismo sendero de
modo más abstracto. El álgebra inicialmente consistió en atajos en aritmética,
que cubren clases enteras de cálculos. Avanzó hacia nuevo terreno cuando
formuló métodos en la forma de metareglas sobre como resolver ecuaciones
abstractas. La sustancia misma del álgebra...comprende métodos para resolver
problemas de orden menor. Las matemáticas puras devienen una actividad
independiente, cuando los intelectuales se concentran en desarrollar algoritmos
aparte de aplicaciones” (p.540). “El descubrimiento sostenido en matemáticas lo era ya
el tiempo de Vieta (1580)...; “...en la mitad del 1600 emergieron
regiones enteras de matemáticas superiores a través de
subespecialidades”; entre los momentos deVieta y de Descartes las matemáticas
fueron transformadas en una maquinaria de manipular ecuaciones” (p.542). “Uno podría decir que lo que define las matemáticas
son las prácticas acumuladas de bricolage con las operaciones de contar
y medir procediéndose hacia generalizaciones de orden superior acerca de clases
de tales operaciones” (ibid.). 5. Collins recoge resultados logrados hace no mucho tiempo
pero de indudable validez sobre cómo se dio el pasaje y cambio del dieciocho al
diecinueve, pero provee además una nueva interpretación de algunos de ellos. Antes de esa transformación se da, por voces
aparentemente autorizadas, la afirmación de que las matemáticas estaban
exhaustas y que se avizoraba una época de estancamiento (el final de las
matemáticas). Además ello sucedía con las matemáticas casi limitadas a la
resolución de problemas de la física. Laplace y Lagrange representaron ese
momento. La inducción y cierta intuición física tenían más presencia que
demostraciones especialmente cuidadosas. Las causas de la creatividad en el diecinueve, en oposición
a tan rudos presagios, se vinculan al mundo social de las matemáticas. El
fuerte crecimiento en el número de matemáticos, debido no sólo a la fundación
y funcionamiento de la Ecole Politechnique,
produjo una fuerte competición. La intensa publicación de artículos
matemáticos en revistas científicas generales y la aparición de periódicos
especializados y expresaron un cambio sustancial. Y ello se dio con un creciente
profesionalismo editorial. Pero además la exigencia de nuevos niveles de rigor,
frente a la debilidad del tipo de demostraciones del siglo anterior, cambió
significativamente las matemáticas que se producían. En particular el carácter
histórico del concepto de rigor, que ha sido reconocido recientemente en forma
teórica, y las necesidades de
ejercerlo a partir de una enseñanza más amplia y profunda (Grabiner), son
signos claros de ese cambio. Con ello se fue produciendo gradualmente una
diferenciación entre matemáticas y física, aún a pesar de ciertos ejemplos
importantes de creación de matemáticas superiores en temas físicos como
ejemplifica la obra de Fourier entre algunos otros. Cauchy contribuyó a ese
ascenso del rigor aunque son bien conocidas sus acciones editoriales indebidas
frenando la publicación de obras valiosas ajenas cuando no apropiándoselas de
modo que puede bien mirárselo como un robber baron (Collins &
Restivo, 1983) insigne. Así se dieron, a pesar de esas poco profesionales y
malvadas conductas de Cauchy, tanto una hipercompetitividad como una academización,
aún fuera de las academias, en institutos superiores, de las matemáticas.
Todos estos son resultados anteriormene logrados que Collins asume y recuerda
por fundamentales- Sin embargo, cuando él nos dice: “El rigor es la forma
que la burocratización toma en la comunidad de matemáticos a medida que las
reglas formales llegan a ser tratadas como significativas por sus propios
derechos” (p.698-699), resulta algo fuerte hablar de burocratización más allá
de esa tendencia formalista hacia el rigor. La independencia respecto a
aplicaciones en Alemania, es parte de esa misma tendencia no sólo francesa.
Estamos de acuerdo con él en que “El rigor no fue un darse cuenta súbito de
viejos errores, sino un cambio súbito en las relaciones dentro de la comunidad
matemática” (p. 699). Aunque
ello produjera un claro proceso de innovación sin embargo no creo que se trate,
todavía de “un interno desarrollo en el juego social que los matemáticos
jugaban unos con otros” (ibid., cursivas nuestras). Como tampoco pensamos que el rigor lleve inmediatamente a
la axiomatización pues el punto de inflexión en ese sentido se da recién con
la obra de Pasch. Como Collins reconoce, la aparición de estudios sobre curvas
raras, “monstruosas” aparece avanzada la segunda mitad del siglo y, además
no es un fruto directo sólo del rigor creciente. La otra vertiente que le interesa a Collins se sitúa
alrededor del álgebra inglesa: “La
matemática inglesa debe su orientación distintiva a las ventajas del atraso
comparativo. Mientras que las matemáticas continentales estaba dedicada a las
complejidades del análisis superior, de la geometría, de la teoría de números,
de la solubilidad de las ecuaciones, las matemáticas británicas inquirieron
sobre los rasgos relativamente elementales del álgebra” (p.705). Peacock y una pléyade que no debe olvidarse
de - Babbage, de Boole, de Cayley, entre otros - hicieron un trabajo de
todos puntos de vista novedoso. No obstante cuando Collins dice: “Las
intenciones de Peacock y de De Morgan eran tradicionales, en que negaron que
fueran posibles cualesquiera otras formas de álgebra que las que seguían las leyes
de los enteros positivos; su modelo fue la ciencia empírica y no dieron
valor de verdad en una matemática
abstracta por sí misma” (p.706), se trata de una afirmación que no nos resulta totalmente
fundada visto el desarrollo británico posterior. 6. Hemos dado apenas unos vistazos de un discurso que
posee alcance y que resulta particularmente interesante, con el fin de llamar la
atención sobre su importancia y la necesidad de discutirlo en profundidad. Hemos visto que 1. se opone a un conjunto muy extenso de
discursos sobre las matemáticas, 2. se apoya en un conjunto amplio y reciente
de investigaciones históricas, y 3. plantea hipótesis nada ortodoxas que vale
la pena considerar por más que no incurra en esquiciteces muy corrientes. BIBLIOGRAFÍA Collins, R.
& Restivo, S. (1983) “Robber barons and politicians in mathematics: a
conflict model of science”. Canadian Journal of Sociology, v.8. Collins, R.
(1987) “A micro-macro theory of intellectual creativity: the case of German
idealist philosophy”. Sociological Theory, v.5. - - - - -
(1989) “Toward a theory of intellectual change: the social causes of
philosophy”. Science, Technology, & Human Values, v.14. - - - - -
(1998) The sociology of philosophies; a global theory of intellectual change. Harvard
University, Cambridge MA. - - - -
(2000a) “The sociology of philosophies: a précis”. Philosophy of the
Social Sciences, v.30. - - -
- - (2000b) “Reply to reviewers and symposium commentators”, Philosophy
of the Social Sciences, v.30. /respuesta a las reseñas de John A.Hall,
P.Munz, y M.Bunge, y a los comentarios de S.Fuller, B.Baigrie, I.C.Jarvie y J.
Hattiagandi, incluídos en el mismo número de la revista/ - - - - -
(2000c) “Reflexivity and social enbeddedness in the history of ethical
philosophies”, Kusch, M. (2000).The sociology of philosophical knowledge. - - - - - (
) “Ethical controversies of science and society: a relation between two
spheres of social conflict”. Kusch, M.
(1995) Psychologism: a case study in the sociology of philosophical knowledge,
Routledge, London. Kusch, M.
(ed.) (2000) The sociology of philosophical knowledge, Kluwer, Dordrecht. Otero, M.H. Algunos
avatares de la llamada matemática pura. Universidad de Zaragoza, Zaragoza, 2002. |
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