Idea de un plan de estudios matemáticos

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BOLETIN DE LA SOCIEDAD

CIENCIAS Y ARTES

PUBLICACION HEBDOMADARIA

 

 

IDEA DE UN PLAN DE ESTUDIOS MATEMÁTICOS

 

Disertación leída en la Sociedad Ciencias y Artes

 

Señor Presidente – señores:

 

Hace algunas noches que os pedí indulgencia para un humilde trabajo mío que tuve el alto honor de leer en esta Sociedad. Hoy me encuentro en igual circunstancia, es decir, que también hoy tengo necesidad de suplicaros me disculpeis los pobres concepto que vierta en esta segunda tesis que presento, lleno de un temor fundado a la recta crítica de las inteligentes personas que me atienden.

Debo declararos de antemano, señores, que no oireis de mis labios la elocuente palabra del orador que arranca desde la tribuna estrepitosos aplausos de sus oyentes. De mis palabras os aseguro sí, que podreis sacar una consecuencia – mi sinceridad.

Es tan cierto esto, señores; es tan positivo de que en mi discurso hablan mis convicciones; como es cierto también que la Sociedad Ciencias y Artes podrá ver en mi humilde persona el decidido apóstol del derecho, el ardiente proseguidor del deber; pero jamás el elocuente tribuno; jamás el competidor de cualquiera de vosotros en las disertaciones científicas.

Creo, pues, que poco impulso puede dar mi desautorizada voz a la Sociedad, si atendemos todavía a mi juventud. Poco, muy poco, puede decir el que recién sale de las aulas donde guiado por los libros y sus maestros sólo admitía como cierto lo que ellos decían, para correr a impulsos de una nueva fuerza que se llama - libertad de pensar – libertad de emitir sus opiniones.

Mas en tanto que el silencio oprimirá mi pecho ávido de un desahogo, me vería por otra parte falto de las aclaraciones que tanto deseaba obtener, puesto que ellas hoy responden a mis preguntas, inocentes tal vez, pero siempre hijas de un deseo íntimo de aprender, de un sentimiento noble de instruirme, oyendo vuestras sabias contestaciones y amparado siempre bajo la benéfica sombra de la razonada discusión.

Permitidme que os diga también que las ideas que voy a emitir hoy, no son nuevas: ellas hace algún tiempo que vienen manifestándose por personas de mayor talla que la mía en conocimientos científicos, y si algo nuevo tienen es el estar demostradas en mi disertación, con pruebas irrefutables, en mi concepto: pruebas nacidas de una reflexión; demostraciones arrancadas de un raciocinio.

Pasemos, pues, ahora al fondo de mi tesis y enunciemos antes sobre que versará la primera parte de ella.

Conveniencia de tener nociones filosóficas para emprender el estudio de las matemáticas.

En noche anterior ya tuve ocasión de probar acabadamente la supremacía de la filosofía sobre las matemáticas mas que estas ciencias recogieron de aquellas los principios en que se basan, y el raciocinio metafísico y lógico que emplean a cada paso para sus rigurosas demostraciones. De aquí sólo se deduce la conveniencia que antes indico.

Pero, para robustecer más mi proposición citaré una autoridad muy competente como lo es la de Vallin Bustillos, el cual dice en el prólogo de una de sus obras de matemáticas:

“completan este pensamiento unas “ligeras nociones de Lógica, que sirviendo de Introducción a la obra no sólo facilitan su estudio sino que le guían con más acierto en la marcha rigurosamente deductiva de la ciencia; siendo muy conveniente que no pase desapercibido para los jóvenes, el gran fondo de lógica que encierran las ciencias exactas. Estos preliminares pueden ser de gran provecho, si, explicados con detenimiento, y presentando en cada caso ejemplos sencillos y al alcance de los alumnos, procura el profesor repetir su aplicación por todo el cuerpo de la obra, haciendo distinguir en cada teoría, las definiciones de los principios fundamentales, y estos de los teoremas, problemas y corolarios; las demostraciones directas de la indirectas, la mediatas de las inmediatas: si los razonamientos son deductivos o inductivos, etc”.

Profunda verdad encierran las palabras del citado autor. En efecto, no concibo un buen matemático sin conocimientos de filosofía. Tales, Pitágoras, Descartes, Leinibtz, Newton y otros genios de su talla, serían para mí oscuros, si no supiera que fueron filósofos.

Ahora, es claro que los conocimientos que quiero de lógica y metafísica para emprender el estudio de las ciencias exactas deben estar en proporción si se quiere de dos a ocho, con los que pensamos adquirir de esta.

Raciocinemos más. En todas las universidades europeas y americanas de las cuales tengo noticia, se necesita dos años por lo menos de filosofía para obstar el grado de bachiller, y es menester ser bachiller para ser ingeniero (hablo del civil). Razones poderosas habrán tenido para ello los que introdujeron esa necesidad de estudios en aquellas Universidades. Y aun más, si se tiene en cuenta de que las matemáticas superiores se cursan después de ser bachiller lo que equivale a decir, después de haber estudiado dos años de filosofía. ¿Si por ventura para dar lecciones de moral cuando explica los accidentes de terreno o dice las probabilidades de solidez que pueda tener un edificio? es porque con la filosofía estudió la metafísica y la lógica y con estas ciencias pudo comprender la importancia de las matemáticas; por ellas aprendió a concurrir con criterio; por ellas adelantó el camino de las ciencias exactas; por ellas supo, en fin, continuar con profundo conocimiento este último estudio, vasto campo de verdades.

No se me diga tampoco de que las matemáticas tienen su lógica propia, su metafísica exclusiva de ellas, porque creo que nadie puede mostrar lo que no tiene, y probé acabadamente antes de ahora, que la metafísica y lógica que  emplean no les pertenece a ellas sino a la filosofía.

Y como afirmar esto, sería entrar en una repetida discusión, creo que con sólo decir que quedó probado lo contrario en mi última tesis, de la manera más acabada, bastará para robustecer las opiniones que vengo sosteniendo en este nuevo trabajo.

Si bien es cierto que no soy tan amante de acatar sumiso y sin meditación el principio de autoridad, debo sin embargo confesar que siempre he respetado las opiniones que han vertido en sus obras los grandes escritores y sobre todo los matemáticos, muchas veces sin tampoco entrar en el terreno de la reflexión debido, o a mis escasas fuerzas intelectuales, o a la fama de que aquellos venían precedidos, y en virtud de esta última parte transcribiré dos palabras solamente que dice Vallejo en el primer tomo de su Obra grande, corroborando lo que yo estoy sosteniendo.

Dice así:

Expuesta ya la parte de metafísica indispensable para el estudio de las matemáticas, etc”

Con las autoridades que he citado y con las razones que he expuesto creo que queda evidenciada la conveniencia de tener nociones filosóficas para emprender el estudio de las ciencias exactas.

Probada así la primera parte de mi tesis, pasemos a la segunda que también enunciaré:

Conveniencia de estudiar simultáneamente la Aritmética y el Algebra para adelantar mas rápidamente en el terreno de las matemáticas.

El Algebra cuyo desarrollo importante, tiende a generalizar los resultados aritméticos, nos suministra medios más expeditos para obtener esos mismos resultados, manifestándonos al mismo tiempo la relación que liga a las cantidades.

Aritmética, dicen todos los matemáticos, es la ciencia de los números; luego de ninguna manera puede ella generalizar lo que sólo es particular a ciertos números, sino por inducción, método filosófico desterrado hoy de las ciencias y sobre todo de las exactas por estar propenso a traer envuelto en sí el error.

Yo creo, entonces, que los estudios de la Aritmética y del Algebra deben ser simultáneos, o explicándonos de una manera más clara, digo, que al empezar el estudio del Algebra, lo debemos hacer con la parte elemental de la Aritmética, y seguir ambas a la vez.

En efecto, en aquel estudio, o sea en el del Algebra podemos generalizar los resultados que la Aritmética sólo particulariza. Para entendernos mejor tomemos p. e. la teoría de los quebrados generadores.

Tenemos x=0,48527527..=48527-48

                                            99900

 y decimos de un modo absoluto y general: el quebrado generador de una fracción periódica mixta es igual a la parte no periódica junta con la periódica, menos la primera, y esta diferencia partida por tantos nueve como cifras tiene el período acompañado de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. He aquí que el teorema queda generalizado. ¿Es este por ventura el objeto de la Aritmética? No: porque hoy el Algebra forma un cuerpo de ciencia tan dependiente de la Aritmética como la Astronomía de las matemáticas, es decir que el Algebra recibiendo los principios y los convenios de la Aritmética, es una ciencia que existe por sí sola, con el auxilio que ella misma se presta.

En mi concepto, creo, que se obtendrían magníficas ventajas, si al estudiar el Algebra, se estudiara al mismo tiempo la Aritmética, sin entrar en la parte superior de ésta hasta cuando no se llegará a cierta altura en aquella.

Entendámonos, no quiero decir por esto que estas obras científicas estén escritas para que el estudiante sin guía, las siga como indico; sino que el profesor es el que debe seguir ese método tan favorable para el desarrollo de la inteligencia, cuanto para la mayor comprensión.

He tenido ocasiones de ver muchas veces, en mi corta carrera del profesorado esta conveniencia que apunto.

Difícilmente ve el discípulo con claridad, la demostración general de los teoremas de aritmética, y no acierta a comprender cómo es posible generalizar un resultado particular de dos o mas números.

Extraño como Cirodde, Cortázar, Bourdon, Sánchez Vidal y otros desarrollan ciertos cálculos aritméticos por medio de los signos del alfabeto para obtener fórmulas generales relativos a esos cálculos aritméticos por medio de los signos del alfabeto para obtener fórmulas generales relativos a esos cálculos, y digo que extraño, porque este objeto es exclusivo del Algebra que se define diciendo: que es la ciencia que nos suministra fórmulas propias para generalizar los resultados aritméticos.

La aritmética es la ciencia de los números: suprimid en ellas los guarismos numéricos, y cae; introducid letras y tendreis el Algebra.

No confundamos una ciencia con la otra aunque estén íntimamente ligadas.

Es menester confesar que Cardin ha llenado en parte esta falta. En efecto, las teorías mas superiores de la Aritmética que se enseña para el bachillerato en nuestras aulas, están reasumidas en un complemento al final de la obra citada, porque comprendió perfectamente que para muchos problemas numéricos no es necesario conocer todo lo que abarcan aquellas teorías.

Cardin va preparando gradualmente el ánimo del discípulo hasta que llega a comprender con mayor facilidad las demostraciones de los teoremas relativos a los números primos, al máximo divisor común, al menor común múltiplo, etc.

En parte parece que este procedimiento siguiéndolo según la obra es ventajoso, y casi, casi me atrevería yo a aceptarlo como útil; pero antes reflexionemos bien.

Me parece que podemos formular un dilema apoyando las ideas nuestras que antes apuntamos.

La Aritmética generaliza o no los resultados que obtiene. Si lo primero, le roba al Algebra sus derechos, o procede por un método inductivo al emplear los números. Si lo segundo es una ciencia empírica. Debe pues apelar esta ciencia al Algebra, y para ello es menester que se estudien simultáneamente, pues de lo contrario habría que estudiar primeramente el Algebra en lo que no estoy de acuerdo.

¿Qué diferencia existe entre la Aritmética generalizada por los signos alfabéticos convencionales del Algebra y esta ciencia? La diferencia única que existe es la que de aquella no atiende al concepto cualitativo de la cantidad sino al quantum de esta.

Y no se diga queriendo retorcer uno de mis argumentos que el Algebra roba sus derechos a la Aritmética, empleando los números, porque esto sería absurdo, si se tiene en cuenta que aquella ciencia trata de la cantidad discreta en general.

Otra circunstancia también que está de acuerdo con lo que vengo sosteniendo en esta tesis y es la siguiente:

En todas las obras de Algebra que he consultado en mis estudios, he notado que empiezan preparando el espíritu del estudiante gradualmente para llegar a comprender cómo las letras pueden representar cantidades y como deben continuar el estudio de esa ciencia.

¿Sucede lo mismo en la Aritmética? No; en la primer teoría en que cuadra bien el empleo de las letras las introduce sin preámbulos de ninguna especie.

El ánimo del novel estudiante, no está todavía bien dispuesto para ver simbolizado en una letra un número cualquiera; su imaginación no ve nada más que guarismos numéricos. Se ha formado tal idea de la cantidad expresada por números, que la que viene afecta de otra forma no la considera, sin un esfuerzo sobrehumano como tal cantidad.

Dijimos antes algo sobre los quebrados generadores; detengámonos un momento más sobre ellos a trueque de pasar por demasiado minuciosos.

Tomemos para entendernos la misma expresión:

X=0,48527527....y tratemos de hallar el quebrado que produjo esta fracción decimal.

Decimos: multipliquemos por 100 ambos miembros de la igualdad, pues, que por eso no se altera. Hasta aquí vamos perfectamente porque nos fundamos en el principio: de que si con cantidades iguales hacemos operaciones iguales los resultados serán iguales.

Por esta multiplicación sacamos 100 x = 48.,527527....(A).

Volvemos a decir, multipliquemos por 4000 la igualdad (A) y fundados en el mismo axioma sacamos

100000 x=48527,527527....(B)

Ahora decimos, restemos la igualdad (A) de la (B) y el resultado de la resta de los primeros miembros será igual a la resta de los segundos. Aquí el principio ha tenido alguna alteración, pero tampoco influye en contra de nuestro raciocinio. El resultado que se obtiene es 99900 x=48527-48 (G)

Seguimos en nuestro cálculo y otra vez decimos: dividamos ambos miembros de la igualdad (G) y esta no se altera, y sacamos por conclusión.

X=48527-48

       99900.  Lo que equivale a decir 99300 x

                                                           99900    = x, o en otra forma para los que nos entendemos: px

                        p  = x. Esto, ¿cómo lo sabemos? Porque p

                                                                                          p  = 1 y px   p

                                                                                                        p  = p por x o p

                                                                                                                               p por x=1x=x. Se ve, pues, claro, que esta teoría para ser mas comprendida, necesita el auxilio del Algebra.

Esto mismo observaremos en casi todos los teoremas relativos a la teoría de los números primos, del mayor común divisor, mínimo común múltiplo de la extracción de raíces, etc.

El estudio de las matemáticas importante bajo todos conceptos no se obtiene de una manera tan rápida como seguramente se desearía: se necesita constancia y una fuerza de voluntad muy superiores; es por eso entonces que debemos aprovechar de todos los resortes que el entendimiento del estudiante presenta, para incrustar en su mente las importantes lecciones que nos ocupan.

Yo creo y estoy plenamente convencido, que sería conveniente bajo cualquier punto de vista que se mire, que para adelantar en las matemáticas, los estudios del Algebra y de la Aritmética deben ser simultáneos.

Satisfecho quedaría de mi indicación si tuviera la suerte de saber que los jóvenes estudiantes de matemáticas, siguiendo por el método que he expuesto en esta tesis, obtuvieran los favorables resultados que toda persona ambiciona al emprender el estudio de una ciencia.

Sin embargo, quiero dejar constatado por una vez más que no anhelo en manera alguna oponerme a una razonada demostración que pruebe lo contrario de lo que he sostenido.

Si se me ataca y se me convence, habré quedado no obstante satisfecho de mi obra, por haber llenado un deber como miembro de esta sociedad, habiendo traído a ella materia para una discusión.

La razón que convence no debemos jamás igualarla con la espada del vencedor. Aquella ilustra, esta destruye; la primera marcha a la vanguardia de la sabiduría, la segunda sigue en pos del exterminio. Cuando la civilización cunde en un pueblo aquella surge luminosa despidiendo rayos de amor, la otra o se esconde o huye para anunciar la derrota que obtuvo allí y preparar algún triunfo por las desgraciadas playas de la barbarie, por los oscuros recintos de la ignorancia y de la corrupción.

Las ideas vencidas por la razón acusan un triunfo para el progreso, porque esa derrota indica una regeneración social, política y científica en el santo camino de la civilización.

He concluido.

 

 

 

                                                                           N. N. P.

 

 

 
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Última Modificación: 26 de febrero de 2012