Importancia de las matemáticas

Anterior Superior Siguiente

IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS

SUS DIFICULTADES Y ENSEÑANZA

Jaime ROLDOS Y PONS

TESIS LEIDA  EN LA SOCIEDAD CIENCIAS Y ARTES

 

 

Sr. Presidente – Señores:

 

Comprometido a presentar un trabajo para ser leído en una de nuestras sesiones , venga a desquitarme de mi compromiso con el natural recelo que debo abrigar, atendidas las pocas fuerzas con que cuento para tratar el asunto que he elegidoe.

Sin embargo, no podía aplazar por mas tiempo el pago de esa deuda de honor, entrando en mis miras algo de ese egoísmo noble, si así puedo expresarme, que se propone servir de estímulo, para que otros mas competentes vengan a ofrecer su óbolo de ilustración en el seno de esta Sociedad que entraña tantas y tan bellas, esperanzas para el país donde ella levanta su estandarte; estandarte que ha de agitarse al soplo bonancible del progreso contemporáneo si no decae el aliento de aquellos que han de sostenerle.

Muchas sociedades afines con la nuestra han enarbolado sus pendones y flamean desde algún tiempo en la culta Montevideo; imitémoslas, señores; hablemos pues de ciencias.

Yo creo que cada ciencia tiene su rango en la vasta enciclopedia del saber humano: examinadas bajo el punto de vista de su influencia en el bienestar social, cada una ha llevado su contingente más o menos valioso; pero si es cierto que la riqueza es uno de los elementos que concurren a la suerte de las naciones para que las necesidades primordiales de la vida sean satisfechas, habéis de admitir que las ciencias del cálculo pueden con toda justicia reclamar uno de los lugares en el armónico concierto de las elucubraciones de la inteligencia.

Y no creais que al asignarlas ese rango sea mi afirmación un rasgo escapado al entusiasmo, por lo común exagerado; es la expresión de mis convicciones mas íntimas, impresas, reflejadas en los progresos que han venido realizándose de siglo en siglo, y particularmente en el que vivimos.

Pero no es solo en esos progresos materiales que leen y admiran simultáneamente el sabio y el ignorante, en los adelantos que revelan el genio creador del artista, la precisión con que el mecánico calcula la fuerza del motor inconsciente y la distribuye y dirige al cumplimiento del fenómeno que intenta producir; su mérito real, intrínseco, se halla también en su espíritu analizador, en su espíritu que todo lo investiga con mirada serena y profunda, en ese poder armado con el escalpelo del análisis que descompone el concepto intuitivo dado a priori para aplicarlo en seguida al estudio de las leyes necesarias del espacio de tiempo.

He aquí, señores, el objetivo hacia el cual me propongo llamar por algunos instantes vuestra atención para haceros ver, para demostrar acabadamente la singular prerrogativa  que tienen las matemáticas de imprimir en todo lo que ellas tocan el sello indeleble que ni el tiempo, no los mayores progresos llegan a destruir.

Todo es caduco y deleznable en este mundo, menos la verdad que persiste implacable como el hado de la fábula. El mundo es un hecho contingente, la verdad es lo que hay de mas incondicional y absoluto, porque es la esencia de la fórmula divina de cuanto existe realmente y de cuanto se agita en al ancha órbita de las posibilidades. Digámoslo de una vez, señores; los conocimientos matemáticos constituyen la ciencias de la verdad: basándose esta ciencia en el concepto de cantidad, ha llegado a establecer un admirable sistema de verdades evidentes que en vano buscariais en todo lo demás que concibieran los genios mas colosales.

Preguntad por las conclusiones filosóficas que hayan podido resistir a la crítica, y cada sistema se encargará de contestaros de diverso modo: lo que el uno afirma es negado por su antagonista. Preguntad al derecho y a la medicina, si es posible poner de acuerdo a sus diferentes escuelas, y obtendreis una negativa desconsoladora; la política y la economía, están en el mismo grado de vaguedad acerca de su verdadera doctrina; y así las demás ciencias especulativas.

Preguntad ahora a todos los matemáticos antiguos y modernos; consultad sus obras, y todos concordes, os responderán por iguales afirmaciones.

¿Y no es este el único fenómeno intelectual que nos ofrece la historia de las ciencias?

Lo que afirmaron Tales, Apolonio, Euclides, Arquímedes, ahora veinte y tantos siglos, afirman los matemáticos de hoy, y afirmarán absolutamente lo mismo los que vendrán dentro de un millar de siglos.

No se diga que la ciencia matemática es estacionaria, que no es susceptible de ulteriores progreso; ella marcha de frente a nuevas conquistas impelida por el genio de los grandes pensadores; y lo que hay de característico es que sus progresos son siempre deducciones, corolarios implícitos de cada una de sus teorías fundamentales. Y bien, señores, seamos lógicos

Si nos fijamos en las premisas de tan complejo silogismo, si nos paramos un momento en recordarlas, veremos que las matemáticas en su carácter subjetivo, no son otra cosa que la constante aplicación de las leyes de la inteligencia al concepto de cantidad; y como esas leyes son necesarias, necesarias son también sus conclusiones.

En los primeros albores de la ciencia, el concretismo numérico, el empirismo, resultado de una necesidad social, contar, medir la extensión, como objeto de transacciones de posesión y propiedad. He aquí el orígen; pero la complicación de esas transacciones por la concurrencia en mayor escala, hizo brotar una aritmética mas complicada también; el sistema decenario sugerido sin duda por la intuición de los dedos condujo a la formación de los números, primero por agregación, por producción después, y de ahí las descomposiciones análogas de sustracción y división.

Sin mas guía que las funciones lógicas de la inteligencia se remontó la razón humana a otras investigaciones, impelida por la nativa curiosidad y la armonía de los períodos que contemplaba en el retorno de las estaciones ánuas, en el girar acompasado de los astros, en el reverdecer de los campos y flores que los matizaban: todo este conjunto de armonías evocaban en su inteligencia la actividad de sus facultades, y la ciencia fue un hecho. Y como nada permanece estacionario, el hombre fue naturalmente conducido a generalizar sus inducciones por la analogía que es también un criterio de sentido común.

Así de idea en idea, de verdad en verdad, de consecuencia en consecuencia, ha venido formándose la hermosa cadena a la que cada genio ha ido añadiendo preciosos eslabones.

Los horizontes de la ciencia debían dilatarse, y Descartes aplicando el álgebra a la geometría, inicia ese nuevo ardor con que los matemáticos se lanzan a delicadas investigaciones, y con asombro de la sabia Europa, Leibnitz y Newton descubre el portentoso cálculo infinitesimal.

Ni era posible contemplar esas trascendentales conquistas del cálculo, sin que la justicia entusiasta hermanadas, pagasen a sus autores el homenaje de su admiración; yo pienso, señores, que podría sostenerse sin ningún género de exageración, que en orden alguno de conocimientos ha dado el entendimiento de un modo mas concluyente la máxima medida de su pujanza, como en las sublimes teorías de ese cálculo que somete a las leyes comunes de la cantidad finita el concepto del infinito, y no como vanas y curiosas especulaciones del entendimiento, no como esas sutilezas de escuela que a nada útil conducen; porque aquí están la mecánica y la astronomía modernas que le son deudoras de sus más interesantes progresos.

Fuera de las ciencias exactas, se ha resentido todo del achaque de falibilidad inherente a nuestra naturaleza. Remontémonos a considerar el saber de los antiguos, ¿qué es lo que ha quedado en pié de sus soñadas cosmogonías, de sus sistemas filosóficos, de su física a priori, de su astrología, arte de los augurios, política y legislación?. Todo ha sido desfigurado, eliminado, a excepción de lo que afirmaron los matemáticos. Las ciencias matemáticas, dice Montferrier, constituyen en su conjunto, el orden de realidades el mas completo, al que el saber humano haya llegado hasta el presente: y así  debía ser, porque la ciencia enseña a pensar bien, a ver bien, y a expresar bien lo que ve. No hay en su lenguaje anfibologías ni tienen en él cabida las metáforas; sus ideas nacen del axioma y todas sus verdades no son otra cosa que axiomas transformados por medio de operaciones legítimas justificadas por la logística del mas severo raciocinio.

Reconozcamos, pues, en el pensamiento matemático la forma evolutiva típica, la que ofrece todas las garantías de fnfalibilidad a la aserción humana; tomémosla como modelo en todas nuestras especulaciones intelectuales y así iremos siempre a la verdad, a la ciencia que debiera ser su expresión genuina.

Acabais de ver como se usurpa tan bello título por la razón extraviada, como abusaron de él los antiguos sofistas denominando ciencias a la astrología y a los sistemas astronómicos mas absurdos.

La misma filosofía de Aristóteles, despues de haber reinado como soberana en las escuelas por muchos siglos, cayó pulverizada al soplo de Bacon y de Descartes. ¿Quién admite hoy las leyes homicidas de Dracon y de Licurgo? ¿Quién se atrevería a sostener en nuestra época los principios políticos de la república del divino Platon? Castas, esclavos! ¿Ha variado, acaso, la naturaleza del hombre; no es libre hoy, como ayer, como siempre?

No juzgo necesario el prolongar mis consideraciones para dejar sentado del modo mas evidente, la trascendencia subjetiva que implica esta ciencia en el orden de los conocimientos humanos, como regla y modelo funcional de nuestras facultades, porque sería empeñarme en girar por un círculo vicioso pretender convenceros de lo mismo que estais convencidos.

Tampoco me engolfaré en la interminable tarea, al encarar esta ciencia en su carácter objetivo, de detenerme en cada una de sus importantes aplicaciones; ni el tiempo ni mi escasa erudición científica me permitirán trazar, aunque fuera a grandes rasgos, un bosquejo de tanta multitud y variedad de portentos: ni lo creo necesario en presencia de las personas que me oyen.

Lo he dicho ya; todos los progresos de las artes e industrias, han brotado de esas aplicaciones: cuanto ostenta el siglo actual de mas maravilloso, es consecuencia de la doctrina, de la aplicación de sus teorías a las fuerzas de los agentes con que la naturaleza nos brinda para domeñarlas y dirigirlas en provecho de nuestro común bienestar. La gravedad, la luz, el calor, la electricidad, son dóciles elementos, cuyo freno les ha puesto la ciencia matemática para sustituir esas fuerzas a las fuerzas del rey de la creación y he aquí como también esta ciencia viene dignificando a nuestra especie, no exigiendo de ella otro fuerza que la intelectual. Admirable concierto entre la ciencia y el destino del que lleva la faz erguida para la contemplación del cuadro de la naturaleza.

Y sin embargo de tantas excelencia, comprobaciones y testimonios que las acreditan, han sido puestos en tela de juicio sus principios; se ha dudado, o se ha pretendido dudar de la solidez de su doctrina.

Vais a formar idea de algunas de las objeciones que Montucla consigna en su historia de las matemáticas.

<Se dice que los objetos de la geometría, no tienen ninguna realidad; que no pueden existir líneas sin latitud, superficies sin profundidad, ni punto matemático, es decir, sin longitud, latitud ni espesor: que todo esto son entes de razón, puras quimeras. Lo mismo puede decirse de las figuras, de las cuales la geometría demuestra las propiedades; no hay ni puede haber ningún círculo, ninguna esfera perfecta: de aquí concluyen que esta ciencia no se ocupa mas que de objetos quiméricos e imposibles.

Si se tiran, se dice, del centro del círculo líneas a todos los puntos de la circunferencia, llenarán toda la superficie de ese círculo; y todo círculo concéntrico al primero, siendo cortado por esos radios en otros tantos puntos, le será igual por tener todos igual número de dichos puntos.

Si se supone una esfera perfecta tangente a un plano perfecto, el contacto será un punto sin extensión, un verdadero punto matemático; pero cuando esa esfera ruede sobre el plano, describirá una línea por la aplicación contínua de sus superficie a este plano.

He aquí, añaden, una figura compuesta de puntos no extensos; lo que es absurdo y demuestra que un círculo perfecto, una esfera perfecta, son objetos cuya existencia entraña palpables contradicciones.

Si se describen por cada uno de los puntos del radio de un círculo circunferencias concéntricas, se tocarán todas y llenarán el círculo entero; nuevo absurdo que consiste en que líneas sin latitud puedan, acumuladas, formar una superficie; o bien los geómetras se verán obligados a decir que sus líneas tienen latitud, lo que basta para destruir todas sus demostraciones.

Para contestar a estas objeciones, basta reconocer que los matemáticos jamás han pretendido que haya cuerpos estensos en longitud y latitud, sin tener espesor o grueso; que los haya habido que no tuviesen sino longitud, sin ninguna otra dimensión; ellos no han hecho mas que descomponer la extensión que consideran en sus diversas partes no menos necesariamente ligadas justamente, aunque el espíritu se fija en una de entre ellas sin pensar en la otra al mismo tiempo.

Todo cuerpo es extenso en longitud, latitud y grueso; pero lo que hace que él sea estenso siguiendo las dos primeras dimensiones, no es lo que hace que tenga grueso. Luego, se ha podido considerar únicamente como largo y ancho, esta descompuesta igualmente por un nuevo grado de abstracción ha presentado la de longitud. La superficie es el límite del volúmen del cuerpo, y porconsiguiente no tiene espesor; la línea es el límite de una superficie limitada, y el punto el de una línea.

Siguese que los cuerpos, las superficies y las líneas, no son en manera alguna aglomeraciones de superficie, de líneas ni de puntos reunidos; porque el límite de una estensión no podría ser tomado por una de sus partes integrantes; así no se puede negar la hipótesis sobre la cual versan la primera y la última objeción.

Cualquier número de líneas que se tiren del centro de un círculo a la circunsferencia, o del vértice de un triángulo a su base, no forman jamás una superficie; no serán mas que los límites de divisiones de esa superficie en partes, como los puntos de la circunferencia no son mas que los límites de porciones de esa circunferencia, porque son esas porciones que la componen y no sus estremidades.

Así, pues, cuando se pretende que hay tantos puntos en una línea grande como en una pequeña, esto no puede entenderse razonablemente sino de este modo, a saber: que se las puede dividir en tantas partes la una como la otra. Por consiguiente, habrá el mismo número de límites de divisiones en cada una; pero no se puede sacar ninguna consecuencia por su magnitud, que depende del de las porciones en las cuales se les ha dividido.

El pretendido absurdo que se esfuerzan en probar por la última objeción, no tiene realidad. Todas esas circunferencias concéntricas, no llenarán la superficie del círculo; no harán mas que dividirla en bandas circulares que limitarán por una y otra parte.

Poco importa a los geómetras que exista o no físicamente una esfera perfecta, un plano perfecto; esas figuras no son mas que los límites de las magnitudes materiales que ellos consideran, y lo que ellos demuestran de estos límites es tanto mas verdadero respecto de los cuerpos materiales, cuanto mas se les acercan. Así admitiendo que las verdades de la geometría no son mas que hipotéticas, es decir, que si existiese un globo y un cilindro perfectos, serían entre si en tal razón, no pueden ser atacadas razonablemente.

Era menester demostrar que una esfera perfecta sería los dos tercios del cilindro perfecto que la circunscribiera, para saber que la misma relación existe sensiblemente entre los cuerpos materiales que se aproximan a esas figuras tanto cuanto nuestros sentidos nos lo permiten juzgarlo.

Sobre la posibilidad de la existencia de esas figuras, basta al geómetra que la idea metafísica de ellas sea clara y evidente para servir de fundamento a sus investigaciones, y para que sus consecuencias gocen de la misma evidencia y de la misma claridad.>

Señores: Quedan victoriosamente refutadas como acabais de ver, todas esas objeciones por el eminente matemático francés. Las razones que aduce para pulverizar tan especiosos argumentos, van mas allá de la refutación; aclara varios puntos oscuros que provienen de malas definiciones o poco exactas de los primeros elementos de la ciencia geométrica. En efecto, hace observar que el punto, la línea y la superficie matemáticas, siendo límites, no deben ni pueden ser tomados como elementos constitutivos de la estensión física o material de los cuerpos.

Para concluir acerca de la invulnerabilidad de los principios que da a las matemáticas, su carácter de exactitud y fijeza, recordaré lo que a este propósito dice el malogrado matemático español Rey y Heredia:

"La ciencia matemática presenta el mas acabado modelo de este conocimiento reducido a la pura forma de la intuición en lo que tiene de común con la experiencia, y hecho intelijible por todos los conceptos del entendimiento, que, dibujándose en unas formas tan puras se presentan con esa claridad que es el dichoso privilegio de las ciencias exactas. Por eso las teorías trascendentales se ven realizadas y evidentemente ejemplificadas en los conocimientos matemáticos; y aparte del mérito de su invención adquieren una indisputable validez científica cuando se las prueba en esta piedra de toque de la ciencia matemática, cuya evidencia, verdad y exactitud son para todo el mundo proverbiales".

Otro género de oposición indirecta, es también la común opinión que afirma que las matemáticas son difíciles, que se muestran rebeldes a la inteligencia. Si se trata de las dificultades intrínsecas que ellas envuelven en sus concepciones y en el regular desarrollo de todas sus teorías, hallo en esto lo que es común a todos los conocimientos especulativos que forman un cuerpo regular de doctrina.

Según Tiberghien, "los caracteres del conocimiento científico, son la verdad y la certidumbre. Los conocimientos verdaderos y ciertos, únicamente tienen acceso en la ciencia. Los casi y los quizá, que son lo esencial de nuestras opiniones, juicios y conjeturas o hipótesis, no pertenecen al conocimiento científico".

Ahora bien, esos conocimientos organizados sistemáticamente, unidos por relaciones necesarias, por la ley de desenvolvimiento gradual y contínuo, no pueden adquirirse por otro camino que por el del sometimiento funcional de nuestras facultades intelectuales, a la especie de autocracia que nace y reponde a la naturaleza de nuestra razón limitada, es decir imperfecta. Llámese como se quiera la ciencia, el entendimiento procede siempre por juicios y racioncinios; en esos juicios y raciocinios ha de haber siempre la primera condición, la exactitud, y esta no puede venir sino de la claridad y precisión de los conceptos. Claridad de conceptos, exactitud en los juicios.

Pero la idoneidad, las aptitudes, exclaman algunos, no son las mismas para todos los individuos; lo que se llama difícil para ciertos entendimientos, es de fácil acceso para otros: las matemáticas que son refractarias para la inteligencia de B, le será sin embargo asimilable la filosofía, la historia o la economía. Yo niego en absoluto, que esto sea exacto: mas aún, me inclino a creer que las matemáticas se acomodan mas fácilmente a todas las inteligencias, que cualesquiera otra ciencia.

En efecto, ¿cuál ciencia, fuera de las matemáticas, arroja en sus conceptos la claridad que se deriva de la exactitud con que se presentan en el espíritu, ni tiene una lengua tan perfecta, tan lacónica y definida?

Dígase que en las demás ciencias es menos advertida la divagación por la anfibología que cabe en la expresión de sus términos; que en ellas se tiene campo mas aparente para dar vuelo a la oscilación de las ideas, a la vaguedad de los razonamientos capciosos; que los lunares son menos visibles en el tejido de matizados colores retóricos, que en el terso y diáfano cristal de la ciencia matemática.

Así no es extraño que se las mire con ceño por los que han contraído en otra instrucción y en otros estudios, los hábitos de ligereza que los hacen inhábiles para sostener por algún tiempo una contención de espíritu que los contraríe, una atención imperturbable y una mirada firme en el objeto que debiera abstraerles de todo cuanto pueda solicitar sus distracción.

Las ciencias matemáticas son ciencias de detenida meditación y estudio; áridas y antipáticas a esas imaginaciones ardientes y soñadoras, que tienen solo ojos para ver lo que se les presenta hermoseado con los brillantes colores de la poesía, con el acento seductor del sentimiento. Yo se que en ellas no hay otros acentos que los de la verdad,  ni mas inspiraciones que las de la fría razón, ni otra autoridad que la evidencia. Para los caracteres inclinados a buscar la verdad por medio de la evidencia, cederán las dificultades inherentes a toda investigación: al soplo del amor a la verdad, se desvanecerán como el humo los espesos celajes que velaban sus encantos. No hay pues en esta ciencia dificultades superiores a las de las demás ciencias.

Probada mi tésis, debiera dar por terminada mi tarea; sin embargo, he he podido desentenderme de decir algunas palabras sobre la enseñanza de esta asignatura.

Las matemáticas son el estudio de las relaciones de la cantidad; pero de las relaciones necesarias que el entendimiento descubre por medio de sus evoluciones lógicas, es decir, por intuiciones de la razón sobre esos mismos conceptos sugeridos por los principios de las leyes de la inteligencia.

Decid que la parte es menor que el todo, y una adhesión espontánea del espíritu se pronuncia en el acto mismo de enunciar este axioma. Pero no intenteis demostrarle, porque es indemostrable; es una ley de la inteligencia aceptarle porque lo ve, porque es evidente. Negadlo, y os vereis obligados a admitir que la parte es igual o mayor que el todo.

Pero el entendimiento no ve inmediatamente todas las relaciones. Un geómetra ve con igual claridad que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, porque ve las relaciones necesarias de la posición respectiva de las tres rectas que forman el contorno del triángulo con la magnitud relativa de los tres ángulos, y el que ignora la geometría no ve nada de eso; ve la figura como ve la de un árbol o la de otro objeto cualquiera; pero nada evoca en él esas consideraciones de relación en que se ha adiestrado la pericia del geómetra.

El objeto de la enseñanza de las matemáticas, es hacer adquirir esa pericia al alumno; es ponerle en el caso de ver esas relaciones y sus consecuencias; es enseñarle a aplicar las leyes de la inteligencia a las variadísimas combinaciones de la cantidad discontinua y contínua, sujetas también a las leyes necesarias a cuya investigación conduce su estudio disciplinado por las leyes del método.

He aquí a no engañarne a lo que debe dirigirse el que enseña la ciencia.

Es fácil y aun sencillo hacer comprender a cualquiera que el concepto cuatro es la síntesis de 1+1+1+1; pero no lo es igualmente hacer notar que en la idea de círculo C, se hallan implícitamente los conceptos piR2, piD1/2R, o que en la frasae y=ax+-b, se halla cifrada la posición de una recta en un plano, referida a dos magnitudes variables.

Ni fuera posible al más hábil profesor de matemáticas poner de un salto como suele decirse, en estado de percibir esas verdades de geometría elemental y analítica. De aquí se sigue que las lecciones que se proponen al estudio o inteligencia del alumno, no pueden ser elegidas a capricho porque no son igualmente accesibles al entendimiento, sino que se hallan subordinadas a una ley: la ley del método.

Sabemos que la primera ley del método es ir de lo conocido a lo desconocido: lo conocido es aquella clara percepción de la identidad o de la repugnancia de las ideas y esto es lo que en filosofía se llama evidencia. El criterio de esta evidencia es, sobre todo en matemáticas, el principio de contradicción: una cosa no puede ser y no ser a un mismo tiempo. Los fílósofos distinguen dos modos de evidencia: la inmediata y la mediata, los principios y axiomas corresponden a la primera, a la segunda los teoremas.

Se comprende desde luego porque la naturaleza de nuestra inteligencia establece establece esta ley que hemos enunciado relativa al método.

Empezar por recordar las verdades de evidencia inmediata, es decir, por las que la razón ve sin previa reflexión, sin mas exigencias que la inteligencia de los términos de la proposición, y esa inteligencia se produce por medio de claras y exactas definiciones ya de las ideas, ya del lenguaje con que se las enuncia.

Si defino los conceptos de cantidad y unidad, tengo los elementos necesarios para definir el número con todo el rigorismo que reclama la noción de este concepto matemático; así puedo exponer de un modo claro y preciso las leyes de su generación, forma y expresión, y llevar la atención del alumno a la investigación y determinación de las propiedades mas características de la algoritmia.

Pero no solo se ha de ir de lo conocido, a lo desconocido, sino que se ha de proceder de tal suerte que los primeros conocimientos han de servir de base a los subsiguientes; así se ve que hay prelación, orden y enlace; porque de lo contrario habría solución de continuidad, y la demostración de una proposición no se efectuaría por alguna de las que la han precedido.

La razón ha de ver en los conceptos, relaciones necesarias, como resultado de la comparación de esos conceptos que a sus vez provienen de otros juicios; y así se remonta de unas verdades a otras que no habría sido posible alcanzar por una evidencia inmediata.

Ya lo hemos dicho, solo los axiomas tienen en el orden conceptual especulativo este notable privilegio; todas las demás verdades son la consecuencia de un trabajo del entendimiento, mas o menos laborioso por medio de sus evoluciones lógicas.

Como quiera que se examine el método de enseñanza, se reduce siempre a definiciones, divisiones y demostraciones; la división implica la clasificación y esta la economía y la claridad de la exposición.

No me ocuparé señores, de las dificultades que ofrecen algunas definiciones de los conceptos matemáticos, en que se ven obligados los autores a darlos a conocer por algunas de sus propiedades mas notables, en cuyo caso se hallan las de la línea recta, de las paralelas y otras; tampoco entraré a considerar los diferentes métodos de demostración empleados en cada una de las partes en que se dividen las matemáticas. Un trabajo de esta naturaleza sería materia de una disertación particular y aun así sería necesario tocar esas difíciles cuestiones a vuelo de pájaro. Me ceñiré simplemente a hacer notar que en la enseñanza todo viene a condensarse en dos procedimientos, a saber: el progresivo y el regresivo.

En el procedimiento progresivo, se enuncian los principios generales y se procede por deducción; en el regresivo, del objeto complejo se viene a sus elementos constitutivos para hacer ver que hay todo lo que ha de haber en el objeto que se estudia o analiza. El procedimiento progresivo es el sintético, el regresivo es el analítico.

El regresivo es importantísimo para dar solidez a los conocimientos. Así, en las demostraciones por medio de un trabajo de reconsideraciones, se van recorriendo todas las proposiciones procedentes conexas con la teoría que se expone, hasta llegar al principio, definición o axioma que ha servido de base a la última proposición; el alumno ve por este medio la hilación y estrecha dependencia de unas verdades con  otras, la serie de relaciones y transformaciones por las cuales va pasando cada elemento que ha concurrido en la exposición de la teoría que forma el asunto de la lección.

La enseñanza es una serie de preparaciones, de iniciaciones ordenadas, ligadas, progresiva: un cicerone inteligente que acompaña a un viajero en el interior de un templo decorado de muchos y extraños geroglíficos; el cicerone va descifrando minuciosamente cada uno de esos geroglíficos; cifra por cifra, rasgo por rasgo, figura por figura.

Cuando el viajero puede leer solo esos geroglíficos , la misión del cicerone ha terminado; apropiarse la ciencia geroglífica corresponde exclusivamente al viajero: este símil expresa mi idea sobre el deber de la enseñanza.

Señores, he terminado: mi ánimo ha sido constatar la importancia de las matemáticas, el interés que entrañan en sus aplicaciones, y despertar la aplicación a esa especie de consideraciones, creyendo que nunca dejan de traer alguna utilidad tales tareas a los que dedican sus ocios en reconsiderar lo que aprendieron en las aulas. Es también un gran consuelo cuando se vive en el combate contínuo de opiniones encontradas, venir a refugiarse el espíritu en el santuario tranquilo de la verdad; la tregua concedida al descanso, nos habilita para volver  con nuevos bríos a las agitaciones de la vida activa.

    He dicho.

 

Enviar correo electrónico a mhotero@adinet.com.uy con preguntas o comentarios sobre este sitio Web. Página en la red http://galileo.fcien.edu.uy
Copyright © 2001-2011 Galileo: Publicación dedicada a problemas metacientíficos. ISSN 07979533 
Última Modificación: 26 de febrero de 2012