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LA
LOGICA EN EL SIGLO XIX Y SU RECONSTRUCCION HISTORIOGRAFICA
Mario
H.OTERO
1.
Pretender cubrir en una exposición el conjunto del desarrollo de la lógica
en el siglo XIX resulta impensable, entre otras razones por la multitud de
trabajos que han aparecido en los últimos años sobre aspectos puntuales y
sobre períodos definidos del mismo. más aún, algunas presentaciones globales
que sólo intentan ser, por su misma naturaleza, esquemáticas o aún bibliográficas
(1), contienen o aluden a tal riqueza que confirman lo difícilmente abarcable
del lapso referido. No es tampoco necesario recordar la fertilidad y amplitud,
perfectible como es obvio, de los trabajos monográficos sobre los aportes
principales de Boole, Frege, Peano, quienes son reconocidos alternativamente
como los fundadores de la lógica nuestra.
Por otro lado resulta también extremadamente difícil intentar dar una
interpretación general del período. Se trata de un fenómeno que no es nuevo.
Aún la presentación y discusión del modelo kuhniano de cambio, para otras
ciencias de gran desarrollo, llevó a poner de relieve serias ambigüedades en
la interpretación de los cambios conceptuales que el modelo requería. Es más,
la consideración de las disciplinas propiamente matemáticas las mostró
reacias a sujetarse a un modelo emparentado con el referido.
Con todo, pareció subyacer a estudios de distinto tipo la idea de que
historia de las matemáticas e historia de la lógica - sobre todo en el siglo
xix - podían ser tratadas de una misma manera. Y que los períodos cubiertos y
las rupturas acontecidas en cada
una de ellas eran fácilmente comparables. Sin embargo, una actitud teórica de
ese tipo va totalmente en contra de lo realmente sucedido y especialmente en
contra de formas distintas y desfasadas de historicidad.
A diferencia de la condena prácticamente uniforme que sufriera el dictum
kantiano (2) acerca de la perfección e imperfectibilidad de la lógica, quizás
deberíamos reconocer la lucidez que expresa respecto justamente a la lógica de
su tiempo que, por otra parte, es la única que conociera en su desarrollo
amplio (3). Aunque Kant aparentemente habla de la lógica en general, no cabe
duda que se está refiriendo a la
que le está disponible. Desde hoy podríamos decir que su dictum es una profecía,
además cumplida, respecto a la lógica tradicional. Si se entendiera que Kant
se refería al futuro de la lógica, de toda lógica, 1. se presupondría que
Kant tenía la capacidad de juzgar sobre producciones que no podía siquiera
imaginar, y 2. se asumiría además que no tuvo lugar una ruptura - radical
aunque lenta, como veremos-, entre aquello a lo que se refería (arqueo-lógica
como se la ha llamado más de una vez) y lo que hoy llamamos lógica. Kant no
detuvo, no podía detener, con su sola aunque no menor influencia (aunque la
obsecuencia de los acólitos no es nada nuevo; Solly (1837) es un ejemplo entre
tantos), la aparición de una nueva disciplina; no podía hacerlo, más bien
preveía lo que realmente sucedió con la disciplina de la que hablaba. 2.
La dominante cuantitativa en lo producido (4) durante el período que va
desde Leibniz a Boole y Frege ha sido de distintas variedades de la lógica
llamada tradicional (5). Su característica resultante más notoria ha sido su
creciente infertilidad. Se trataba de una disciplina perfecta e imperfectible
salvo minutiae, de ahí su consiguiente infertilidad.
Esa enorme producción de textos se ha extendido también durante todo el
siglo xix, aunque en forma decreciente y aún en parte del xx. Ciertos textos
escolares de lógica tradicional han pervivido aún más en los países más
atrasados o en situaciones francamente regresivas (6).
El nombre de lógica tradicional no es trivial: se trataba de una tradición
bien establecida, entre obra y obra, aún desde puntos de vista editorial y
escolar, aún excluyendo obvios refritos, y de los problemas y necesidades a las
que respondía, sujetos a moderados matices.
De ese modo se da durante el siglo xix, y aún antes, una bien conocida
diferencia entre textos creativos - mayormente destinados a encarar temas que
excedían en cada caso la disciplina asentada -, y una lógica tradicional
obsolescente no carente de objetivos ideológicos. Cuando aparecen textos, o
ideas, muchas veces apenas esbozadas, que rompen con esa tradición, aunque lo
hagan puntualmente, ellos en general no configuran nunca de por sí una nueva
disciplina. No hay en ese sentido en los comienzos de la historia de la lógica
nueva (7) ni generación espontánea ni seres que se presenten ya completos en
la cabeza de Palas o en la de algún lógico, a pesar que eso se supone de modo
no infrecuente, aún en casos de primer nivel como el de Frege (8). Por eso,
entre otros elementos, no hay una separación tajante entre textos de lógica
tradicional y textos de lógica nueva, más bien hay una zona difusa. Hay sí
una diferencia entre esos dos grandes sectores; existe, como señal ramos, un
conjunto de aportes que rompen con lo tradicional aún dentro de discursos de
ese tipo. Esto no es nuevo pero a menudo se lo olvida.
La lógica tradicional gira en torno a un objeto paradigmático: el
silogismo. Trata de muchas otras cosas, aún excluyendo
los temas metodológicos (9) que aparecieron muy especialmente tratados en los
textos de la disciplina (particularmente en Port Royal y otros). Pero por más
que ellas fueran objetos de interés real, el hilo conductor estaba situado en
esa forma de razonamiento, el silogismo, que fungía como ideal. No se trata de
ver cuanto espacio ocupaba en cada obra, como hace Peckhaus - insisto, aún
descontando por ejemplo lo metodológico - sino de qué papel cumplía como eje
argumentativo y como tema central en comparación con los restantes.
Ahora bien, desde Euler, desde Castillon, hasta Venn o Ladd-Franklin,
antes y después de Boole - De Morgan en ese sentido no es menor -, pasando por
un conjunto de otros autores, varios anteriores a ese autor, aparece también el
silogismo, pero no como cúspide sino en sus insuficiencias. En esos casos en
que todavía no poseemos una lógica nueva como corpus por limitado que sea, el
silogismo es a la vez objeto paradigmático y trampolín para otra cosa. Y esta
no es una afirmación meramente presentista. El silogismo es el modelo conocido
en que se ensayan formas de encarar teorías que lo exceden en mucho y que
apuntan a tener en cuenta los pasos reales del conocimiento científico. Así la
cuantificación del predicado parece hacerlo (10) y De Morgan con su estudio de
la lógica de relaciones (los títulos de sus trabajos principales, Syllogism, I
al VI), muestra claramente esto. Aparecen pues, con la máscara del silogismo,
nuevos objetivos y nuevas formas de encarar lo lógico. Por esto es sólo
aparente la identidad temática entre lógica tradicional y una nueva lógica
naciente. Esterilidad y creatividad acerca de un mismo aparente objeto resultan
de una ruptura. Esta ruptura es lenta y debe explicarse por qué lo es. 3.
No es desaconsejable una comparación con las matemáticas del mismo período.
En éstas las publicaciones tienen lugar no sólo en obras aisladas sino en
publicaciones periódicas bien establecidas (11). La profesionalización de la
disciplina es la culminación de un proceso en que las publicaciones periódicas
y los estudios universitarios (y preuniversitarios) regulares son cosa
corriente. En que ciertas formas académicas, sin perjucio de variaciones,
estaban centradas desde miles de años (Euclides, el estudio de las cónicas) o
desde cientos (Vieta y continuadores).
Por todo lo indicado parece haber por un lado una ruptura entre lógica
nueva y lógica tradicional, enmascarada en tratamientos diferentes de un
"mismo" objeto, el silogismo. Y por otro debería haber en el campo
historiográfico una diferencia sustancial entre cómo historiar una naciente lógica,
que como decimos posee objetivos y procedimientos
nuevos respecto a la tradicional, y cómo seguir historiando las matemáticas,
que poseen una continuidad manifiesta aún en sus formas institucionales, con
cambios que no las alteran en su
carácter (12). La historia de la nueva lógica no puede ser la de una
disciplina en marcha y ya constituída sino de otra cosa.
Empleando un lenguaje al uso, no puede haber identidad
entre la formulación de la historia de un desarrollo inicial como el de
la lógica con la de otro notoriamente postparadigmático. Menos aún dadas las
características institucionales de ambos campos temáticos. Esto no prejuzga
nada sobre las relaciones entre los dos. Si
el cambio acontecido en lógica, más allá nuevos procedimientos, posee nuevas
atractores, uno de estos bien puede ser el desarrollo de las matemáticas, como
clima, como inductor, o como lo que sea, sin que resulten asimilables las
interpretaciones de los desarrollos internos en un mismo período. De ahí que
puedan aparecer alternativas a vida en común o a vidas separadas Grattan
Guinness).
Las visiones contrapuestas que hacen o bien depender casi mecánicamente
el desarrollo de la lógica del correspondiente a las matemáticas, o bien lo
conciben como prácticamente autónomo, incurren ambas en pensar en una especie
de causalidad caso a caso. En la primer posición muchas veces los casos
propuestos no son tales; en la segunda, aunque la relación no sea
exclusivamente del tipo anterior - caso a caso -, ello no prueba la
independencia de procesos de largo aliento. 4.
Por todo lo antes expuesto hemos preferido dedicar la exposición
presente a:
1. presentar muy escuetamente dos problemas que surgen una y otra vez en
la construcción historiográfica de la lógica y particularmente en la
interpretación del conjunto de la lógica matemática en el siglo xix, y
2. complementar esa tarea mediante la referencia a algunos casos (13)
significativos, además elegidos en el período que va desde el conocido dictum
kantiano hasta 1847, fecha de publicación del Mathematical analysis of logic.
Se trata de un período en que aquellos problemas se presentan con especial
agudeza en la historiografía.
En el primer aspecto se trata sucintamente de ciertos supuestos que se
manejan para encarar los problemas focales:
a. Las críticas
severas al presentismo histórico y al precursorimo, en gran medida
justificadas, han conducido a la vez a exageraciones insostenibles.
b. La idea de que sólo
cuenta como historia real la de aquellas producciones que han tenido efectos más
o menos inmediatos hace depender a la historiografía de la lógica de una
eficacia más digna de otras aplicaciones. 4.1
En cuanto a lo primero ha llegado a ser parte extremadamente
internalizada del ethos profesional del historiador de la ciencia una clara
actitud antipresentista (anti-whig) que toma como locus classicus a Butterfield
(1931). Implícitamente el problema tiene larga data pero ya hacia fines del
diecinueve en historia de las matemáticas se da una polémica importante, de
gran interés, entre Zeuthen y Cantor (14).
Ultimamente el tema ha recobrado interés. Tal actitud antipresentista
puede tener carácter de deseabilidad, y por tanto ser loable, aunque no siempre
factible, viable, pero también de proclama muy parcialmente cumplida o de
censura de toda otra propuesta que se aparte de sus tesis más extremas. Estas
lo son a tal punto que a ellas se podría aplicar aquel viejo teorema de que no
existe el túnel del tiempo, pues parecerían sostener lo contrario.
Frente a actitudes presentistas caricaturales - las de los propios whigs
históricos (los liberales ingleses) -, que hacen un uso claramente ideológico
de su discurso, un antipresentismo razonable resulta una actitud terapéutica
aconsejable. Pero las tesis antipresentistas aparecen a menudo en autores que
ven la paja en ojo ajeno pero no la viga en el propio; en que su producción
histórica no se ajusta frecuentemente a sus críticas a ajenos.
Todo ello ha llevado a discutir con fineza el tema a que hacemos
referencia, y a desdoblarlo en subtemas. Esto último adquiere especial
relevancia porque la consideración global produce confusiones sin salida.
Aspectos distintos del tema pueden tener soluciones también diferentes.
Recientemente Baltas (1994) ha producido una serie de distinciones pertinentes
que lo llevan a concluir que ciertas tesis antipresentistas extremas, o no
tanto, son claramente inviables.
En historia de la lógica, y particularmente en la del siglo XIX, el
antipresentismo lleva a descartar propuestas
fundadas,
sin proponer alternativas. Y en ello converge con las actitudes del segundo
tipo. 4.2
Respecto a éstas, no resulta irrazonable pensar que aquellas obras que
tuvieron efectos en su comunidad merecen una consideración prioritaria. Pero de
ahí a excluir del trabajo histórico a autores cuyo efecto ha sido diferido o
no lo ha tenido por los avances realizados entre su obra y su redescubrimiento,
lleva a consecuencias absurdas, en particular dentro de la historia de la lógica
del diecinueve. No es para nada rebuscado presentar contraejemplos es este
desarrollo: R. Grassman, Bolzano o Frege - durante cierto período - son sólo
algunos casos entre varios otros. Pero además es necesario poner atención a
factores de variado tipo. La expresión "efectos en su comunidad"
supone, en forma aparentemente trivial, una comunidad constituída y
publicaciones periódicas con características similares a las actuales (este sí
es un claro e inaceptable
procedimiento presentista). Pero en lógica, por lo menos en el período
considerado, no existía ni una comunidad ni mucho menos publicaciones
especializadas. La aparición puntual de trabajos no permiten para nada pensar sólo
en sus efectos inmediatos como decisivos. 4.3
Ambos aspectos están como es obvio estrechamente relacionados. A mi modo
de ver las formas de pensar referidas, que resultan dominantes en la
historiografía reciente de la lógica y en especial con referencia a la primer
mitad del siglo XIX, y que resultan en actitudes depreciadoras, no est n para
nada fuera de discusión. Pienso además que su aceptación tiene consecuencias
interpretativas desgraciadas. 5.
Leibniz, Boole y Frege (Peano en un grado menor) han sido considerados
alternativa y repetidamente como fundadores de la nueva lógica.
Con anterioridad la figura de Aristóteles ha resultado, como es obvio y
con razón, ineludible, pero también han sido estudiados y son conocidos
adecuadamente de la antigüedad la lógica estoica y el aporte de Galeno. Ha
habido una revaloración adecuada de otros trozos significativos, el caso de la
lógica medieval es uno de ellos. Basten como ejemplos.
En cambio, de la lógica de la primera mitad del siglo XIX - si excluímos,
es cierto, algunos aportes historiográficos interesantes - recibimos la impresión
más difundida, dominante, de que habría sólo casos folklóricos, prácticamente
nada interesante. 6.
Un caso especialmente ilustrativo del período considerado es el de
J.D.Gergonne, editor de los Annales de Mathématiques Pures et Appliquées
(1810-1831), primera revista matemática publicada en forma regular (15). Su
trabajo de lógica, el "Essai de Dialectique Rationelle",
aparentemente aislado, es la obra de un matemático, para nada comparable con
grandes figuras, en el que sin embargo se dan de forma convergente producciones
interesantes en nuestra perspectiva. más all
de su tarea como editor, Gergonne
1. posee una extensa producción en varios campos de la matemática y muy
especialmente en geometría y geometría proyectiva antes de la sistematización
cl sica debida a Poncelet,
2. enuncia y aplica el principio de dualidad en dicha rama de la geometría:
punto y recta en geometría plana, y punto y plano en el espacio, resultan
intercambiables, de modo que aparecen geometrías simultáneas -escritas en
columnas correspondientes -, con lo que esos términos aparecen como variables
sujetas a propiedades establecidas en axiomas y teoremas,
3. desarrolla una teoría interesante de la definición e introduce las
definiciones implícitas de un modo limitado pero para nada irrelevante,
4. presenta una consideración de especial interés sobre el análisis y
la síntesis y una teoría básica sobre los lenguajes científicos, en oposición
a la del dominante Condillac.
5. esos aportes aparecen incluídos en dos largos textos dentro de una
teoría amplia de las ciencias deductivas que responde al estado de las matemáticas
en su momento.
La "dialectique rationelle" es aparentemente una teoría del
silogismo. Pero su modo de construcción encierra un cálculo de cierta
generalidad. Dadas dos clases plantea cinco situaciones
posibles entre ellas, en lugar de las cuatro tradicionales, insuficientes.
Desarrolla esquemas representativos inspirados en los de las cartas a una
princesa alemene de Euler pero que de por sí dan lugar en este caso a un cálculo.
Dichos diagramas no son pues meramente representativos, como es el caso en la
mayoría de los que aparecieron en otras obras lógicas, anteriores o
posteriores, sino integrantes como decimos de un cálculo diagramático, además
extensional. Las proposiciones correspondientes junto con sus representaciones
dan lugar a un algoritmo en cuyos detalles no vamos a entrar aquí. Ese
algoritmo permite encarar el silogismo de un modo general, cosa que no sucedía
en las obras tradicionales y permite, mediante transformaciones, también de
otro alcance que las de la tradición, llegar a mostrar de qu, principios surgen
las demás formas presentadas. Si bien Gergonne se limita a tomar el silogismo
como campo de pruebas para sus cálculos lógicos, además, y esto es tan
fundamental como los algoritmos presentados, muestra como esos principios pueden
ser sustituídos de modo equivalente por otros. En varios sentidos pues Gergonne
se despega fuertemente de la consideración tradicional.
Los diferentes aportes de Gergonne - tanto matemáticos como de teoría
de las ciencias deductivas - convergen. Pero ello no es para nada casual. Cuando
nos dice "On
raisonne en effet, avec des mots, tout comme en algŠbre on calcule avec des
lettres et, de mˆme qu'on peut exécuter avec exactitude un calcul algébrique,
sans douter seulement de la signification des symboles sur on opŠre,
on peut pareillement suivre un raisonnement, sans connaŒtre aucunement la
signification des termes dans lequels il est exprimé, ou sans y songer
aucunement si on la connaŒt" no
podemos menos de pensar en un aserto muy posterior, bien conocido, de Boole que
expresa una culminación de la línea de desarrollo del álgebra inglesa
aplicada a la lógica. 7.
Otro caso de interés es el de M.W.Drobisch que publicó en 1836 en
Leipzig su Neue Darstellung der Logik nach ihren einfachsten Verh„lnissen,
nebst einem logischmathematischen Anhange con sucesivas ediciones, con cambios
en el título (16), en 1851, l863 y 1875.
Lógico de ascendencia herbartiana, Drobisch, en su "Apéndice lógico-matemático"(p.125-168),
que resulta la parte quiz s más importante del libro, demuestra conocer algunos
antecedentes importantes para su modo de encarar la lógica, entre los cuales
figuran Ploucquet, Lambert, Semler, Bernoulli, Gergonne, Twesten, Hauber, y
desde luego Herbart.
Dicho apéndice est subdividido
en cinco partes: Sobre la teoría de la demostración, Construcción algebraica
de las formas del juicio más simples y deducción de las conclusiones basada en
dicha construcción, Sobre la teoría de las cadenas de conclusiones, Acerca de
la teoría de las divisiones y clasificaciones y Acerca de la teoría de las
demostraciones. Esta
última se apoya en la demostración prolija, para la época, de un teorema de
geometría concerniente a los paralelogramos, y trata además sucesivamente 1.la
tesis de Hauber sobre la reversibilidad de los juicios universales afirmativos,
2.la demostración matemática de n a n+1 (18) y 3. la teoría de la analogía.
En la primera parte Drobisch utiliza visiblemente la teoría combinatoria
que tenía una acentuada tradición en la matemática alemana del momento
especialmente en la escuela de K.F. Hindenburg, también de Leipzig.
La segunda parte enfoca la representación de los juicios simples como
relaciones de extensión y utiliza procedimientos algébricos usuales. Es de señalar
que la nota aclaratoria agregada alude a los cálculos de Lambert y de Ploucquet,
de base no extensional, y remite a un significativo texto de Gergonne, de su
"Dialectique rationelle": "On ne doit jamais perdre de vue que le
comble de la perfection des méthodes est de nous mettre en mains les moyens de
parvenir mécaniquement et sans le secours d'aucun sorte de raisonnement, au but
que nous nous proposons d'atteindre (D.R., p.213)". Es de recordar como
Castillon, en un cálculo algo anterior de base no extensional, que era lo
corriente, hacía participar en él elementos externos al mismo (17). En cambio
Drobisch tiene bien claras tanto la exigencia referida como la conveniencia del
uso básico de la extensión. Aunque su punto de partida es nuevamente el
silogismo, en sus planteos lo excede en mucho, especialmente por la generalidad
de su método: procede a partir de problemas y de sus ejemplificaciones para
llegar a propuestas de alcance general.
Resulta especialmente interesante su estudio (en la tercera
parte del apéndice) de las cadenas de conclusiones de n premisas. Por ejemplo
enuncia la siguiente propiedad: "...una cadena con conclusión universal
negativa siempre tiene entre sus premisas no más y no menos de una negativa,
las restantes son universales afirmativas" (p.144). Y así presenta, con
demostración, un conjunto de propiedades de las cadenas de conclusiones
(ejemplos en Drobisch (1836), p.145 y 151) y no de silogismos elementales como
era lo corriente.
En cuanto a la división de conceptos (cuarta parte) "se puede hacer
uso, para la designación de estas operaciones lógicas, de los signos de sus
aritméticas an logas" (p. 151). En
este tema también introduce "algunas reflexiones combinatorias, y muestra
como "Si un concepto tiene m divisiones secundarias, entonces se pueden
ordenar de m(m-1)...2.1
maneras distintas" (p.154-5).
Aún fuera del texto del "Apéndice lógico-matemático", en el
libro mismo, hay elementos de interés a considerar, por ejemplo en cuanto a las
técnicas lógico-diagramáticas: "En
lo que se refiere a la inferencia de los modos de la conclusión por la
consideración de los círculos puede remitirse - además de a las "cartas
de Euler a una princesa de Alemania" sobre distintos temas de la física y
la filosofía, segunda parte, p.90 y siguientes, de las que ha pasado a varios
libros recientes de lógica - a un ensayo de Gergonne escrito con elegancia
francesa y probablemente desconocido en su mayor parte por los lógicos
alemanes, titulada Essai de dialectique rationelle, en sus Annales de Mathématiques,
t.VII, p.189. Lambert infiere de otro modo las conclusiones por su designación
característica (Organon, primera parte, p.132). En el Apéndice II, se
encuentra tratado el tema de una manera muy simple mediante la construcción
simbólica del cálculo lógico" (op.cit., p.69).
No es desdeñable la difusión de obras anterioresque el libro efectúa.
La fuerte influencia que Drobisch recibe de Gergonne -
por más que no refleje detalladamente los algoritmos usados por éste - unido
al hecho de la difusión de las varias ediciones que tuviera la obra a lo largo
del siglo, hacen plausible pensar nuevamente a través de este caso que los
aportes a una nueva lógica - aún desde el marco del silogismo pero sin
limitarse a los esquemas tradicionales-, no estuvieron para nada aislados como
parece surgir casi invariablemente de la historiografía del período.
8.
A diferencia de los casos presentados antes, el de Boole requiere,
impone, referencias retrospectivas importantes. Los
estudios publicados en los últimos veinte años, por lo menos, han enriquecido
sustancialmente el conocimiento histórico por más de que no todos ellos lleven
a la misma interpretación del período en consideración. 8.1
Parece claro situar dos temas, para nada desvinculados entre sí, como
determinantes en distintos grados del desarrollo primero del álgebra simbólica
inglesa (19) y como marco del álgebra booleana de la lógica. Uno es la
fundamentación lagrangiana del cálculo infinitesimal y otro el de la
aceptabilidad de los números negativos e imaginarios. Koppelman (1972) ha
mostrado en forma terminante cómo el cálculo de operaciones (de fuente
francesa, especialmente los trabajos de Arbogast y Servois entre otros) es
importado en Inglaterra y desarrollado allí al punto de constituirse luego ésta
en el centro de investigación en el tema.
Después de un período de estancamiento de la matemática inglesa,
centrada en temas geométricos y en una enseñanza repetitiva, con escaso
trabajo de investigación, la acción decidida de la Analytical Society hacia
1810 (Enros, 1983, Durand, 1995, entre otros) y sobre todo de Babbage - genio
difícilmente clasificable - llevó, no sin esfuerzo y demora, a que se adoptara
la notación leibniziana en el cálculo infinitesimal, llamándose especialmente
la atención sobre el lenguaje matemático. La vida breve de la sociedad no fue
óbice para que la acción de sus miembros tuviera repercusiones significativas
tanto en ese sentido como en la revitalización de la investigación matemática
y en la publicación de revistas especializadas.
Peacock hacia 1817 logra cambios en la notación utilizada - aspecto para
nada trivial -, publica en el 30 un tratado de álgebra que incluía una nueva
concepción del álgebra y especialmente, en el marco de la British Association
for the Progress of Science, en 1833 presenta su "informe sobre el progreso
reciente y el estado actual de ciertas ramas del análisis". Dubbey (1977)
ha mostrado cómo lo sustancial del informe ya estaba contenido en un trabajo inédito
de Babbage. De todos modos el informe de Peacock tuvo una enorme difusión sin
perjuicio de las resistencias que causó (Pycior, 1981 y especialmente 1982,
Ohrstrom, 1985). En ese Informe se propone un álgebra simbólica separada del
álgebra aritmética normal. Sin embargo el hecho de que el álgebra aritmética
todavía hacía en Peacock de "ciencia de sugerencia" (inductora) para
el álgebra simbólica, impidió que se considerara a ésta de forma totalmente
autónoma; ése ha sido un tema especialmente discutido en la historiografía
reciente. Asimismo Richards (1980) trata de mostrar cómo una concepción
tradicional de la verdad, todavía dominante en el período, trababa el
desarrollo del álgebra simbólica "hacia" un álgebra abstracta,
moderna.
Las motivaciones de las tesis de Peacock y en general del álgebra simbólica
han sido variadamente atribuídas; la influencia,
no probada a nuestro modo de ver, de Locke (Durand, 1990), ha sido una; pero
también han sido estudiados con
cuidado ciertos temas ideológicos: las influencias religiosas ((Richards, 1992)
y la "mente industrial" en un artículo (Ashworth, 1996) que merecería
especial consideración. La figura de Babbage sigue esperando un estudio de conjunto
por su posición estratégica en el período (20).
La historiografía del desarrollo del álgebra simbólica resulta
ejemplar para mostrar cómo se va configurando un marco que es el del nacimiento
con Boole de la lógica algébrica. 8.2
Se han señalado dos textos de lógica, el de Solly (1839) (Panteki,
1993) y el de Whately, con mumerosísimas ediciones y reimpresiones - varias
docenas - hasta 1884, con una más en 1913!) (van Evra, 1984), como concurrentes
desde una disciplina distinta a la del álgebra simbólica; especialmente el de
Whately con su concepción formal de la lógica tradicional en un período en
que este tipo de consideración estaba prácticamente ausente. De cualquier modo
pensamos que los aportes de dichos textos no han sido decisivos sino marginales. 8.3
Tan numerosos o más han sido los estudios sobre la obra de Boole. Son
especialmente esclarecedores sobre el núcleo de la lógica booleana los de van
Evra (1977), Corcoran y Wood (1980) pero también la reseña que Corcoran (1986)
dedica a la publicación de la correspondencia entre De Morgan y Boole. Laita a
su vez presenta un conjunto nutrido de trabajos (1977, 1979, 1994, entre varios
otros); especialmente interesante es el referente a separación de símbolos en
Gregory y Boole.
Sobre temas vinculados a la filosofía de la lógica de Boole, sean
tratamientos de conjunto - resultan señalables especialmente el de Hesse (1952)
y el libro de Grattan Guinness y Bornet, George Boole, selected manuscripts on
logic and its philosophy(1997), fuente riquísima a explotar-, como tratamientos
particulares; es el caso de Grattan Guinness (1982, 1991); cubren, además de
los de filosofía, temas de lógica, en particular el tan controvertido asunto
(en Diagne, 1989, ocupa a mi modo de ver un lugar excesivo) de una forma final
de exposición que Boole habría intentado para presentar sus aportes sin el
lenguaje matemático de sus dem s obras. Es más que dudoso interpretar sobre la
base de textos aislados, como se ha hecho, una presunta independencia para Boole
entre lógica y lenguaje matemático.
Resultan especialmente interesantes los trabajos que estudian la obra
matemática de Boole, especialmente la previa a Mathematical analysis of logic.
Una tradición continua tendiente a ejercer un inusual rigor en el análisis,
que ya se expresó desde Lagrange, y a través del álgebra simbólica, surge
nuevamente en Boole en temas referentes al cálculo diferencial; y es a partir
de ellos - aunque no sólo allí - que se pone de manifiesto esa trabazón señalada
entre el desarrollo del álgebra inglesa y la lógica algébrica naciente.
Aquí no interesaba especificar el aporte lógico mismo de Boole (el ya
citado muy preciso estudio de Corcoran y Wood, entre algunos otros trabajos, lo
hacen), sino particularmente el no aislamiento de su obra lógica dentro de la
verdadera red de investigaciones lógicas y matemáticas convergentes en que est
situado.
La estrechísima unión entre matemáticas y lógica y entre lógica y
lenguaje graban en una expresión escuetísima el ámbito dentro del cual nace
la lógica algébrica. Y eso es lo que aquí interesa sobre la base de los
aportes historiogr ficos señalados. 9.
Frege escribió un largo artículo hacia 1881-1882, es decir algo después
de publicar su Begriffschrift, bajo el título de "El cálculo lógico de
Boole y la conceptografía", y uno corto, en 1882, "El lenguage lógico
de fórmulas y mi conceptografía". Ambos aparecen en el Nachlass. Ninguno
de ellos fue publicado en su momento a pesar de que Frege envió el primero a
dos revistas de matemáticas y a una de filosofía y el segundo a una de filosofía,
todas de primer nivel. Aparentemente fueron escritos en respuesta a una reseña
muy crítica que hizo Schr"der de su conceptografía. Ambos merecen
consideración especialmente por las referencias retrospectivas que contienen y
porque iluminan su obra anterior bien conocida.
En el primero parece haber captado claramente el alcance de la obra lógica
de Leibniz: éste "arrojó tal profusión de simientes que en este aspecto
constituye una clase por sí mismo" (p.7). Captó adecuadamente la relación
entre la lingua characterica y el calculus raciocinator de Leibniz. Dice con razón
"Leibniz se pegó estrechamente al lenguaje". Frase que no es para
nada trivial porque Frege mismo se va a situar más como continuador de Leibniz
que de Boole.
Es más, a pesar de que Frege conocía ediciones anteriores de obras lógicas
Leibniz, todas ellas severamente incompletas, se permitió vaticinar que se
"... justifica la espera de que una gran parte de su trabajo, que est
ahora en toda apariencia muerto y enterrado, goce de una resurrección"
(ibid.). Vaticinio que sabemos se cumplió, tal como Frege lo formuló, a través
de la edición de Couturat que produjo, en general, enorme sorpresa. Luego de un
corto recorrido Frege termina sus observaciones sobre Leibniz; ambos trabajos se
centran en lo fundamental en la comparación de su obra con la de Boole, sin
dejar de hacer referencias a autores en el entorno de éste.
Según Frege, Boole quizo construir una técnica para resolver problemas
lógicos sistem ticamente mientras que él mismo trata de reconstruir lógicamente
el lenguaje matemático. Su propósito se expresaría en una consideración de
los contenidos mientras que Boole se reduciría a un estudio formal de leyes lógicas,
meramente algoritmos. La primer afirmación no parece totalmente justificada
pero constituye el centro de sus tesis. Frege entiende que un nivel superior del
estudio lógico debe abarcar contenidos del lenguaje matemático. La fineza,
aunque insuficiente, y además en grado distinto, de aritmética y geometría -
ésta muy poco desarrollada en su lenguaje - permite emprender la tarea que
Frege se propone, por lo menos para la aritmética. Aún así, la inhabilidad
parcial de ésta "reside en la carencia de uno de los dos componentes /el
cemento lógico/ de los cuales debe consistir todo lenguaje altamente
desarrollado" (p.13).
Desde el comienzo su conceptografía quiere expresar, como dijimos, los
contenidos del lenguaje matemático, etapa hacia la construcción de una lengua
characterica que, ... la Leibniz, "pinte no las palabras sino los
pensamientos", y no meramente erigir un cálculo. "La lógica simbólica
de Boole sólo representaría la parte formal del lenguaje". Con todo,
parece algo exagerado atribuir a Boole solamente "pintar las
palabras". La tarea que Frege
se propone es complementar los signos matemáticos con un elemento formal, con
relaciones lógicas capaces de incorporarse al lenguaje de fórmulas de las
matemáticas. Según Frege la lógica de Boole, por su propósito, sería
incapaz de hacerlo.
Como consecuencia de una opción fundamental, la de entender que el
estudio de los juicios debe preceder al de los conceptos, Frege reduce las
proposiciones primarias de Boole a las secundarias (hipotéticas). La
conceptografía establecería "una relación orgánica simple y apropiada
entre las dos partes de Boole". Recordemos que no es que este autor no la
establezca sino que los puntos de partida de Frege son claramente distintos.
Frege compara con cierto cuidado, a través de ejemplos (p.27), el
rendimiento teórico de su lenguaje lógico con el de Boole. Con todo valdría
la pena considerar el detalle de sus afirmaciones, cosa fuera de lugar aquí.
Por otra parte el uso de diagramas lógicos por Frege en este escrito
(p.33) es bastante primitivo en relación con propuestas anteriores y tiene car
cter solamente representativo (21) . De ahí, sólo de ese planteo tan elemental
de los diagramas lógicos, surgirían las limitaciones que Frege señala acerca
de los procedimientos diagramáticos.
Frege resume su pensamiento y dice
finalmente (p.46) creer que en el trabajo ha mostrado que: "1.
Mi conceptografía tiene un propósito de mayor alcance que la lógica booleana,
en que intenta hacer posible presentar un contenido cuando se la combina con
signos aritméticos y geométricos, 2. Aparte del contenido, dentro del dominio
de la pura lógica, gracias a la notación de la generalidad, ordena un dominio
algo más amplio que el lenguaje de fórmulas de Boole, 3. Evita la división de
la lógica boooleana en dos partes (proposiciones primarias y secundarias)
construyendo los juicios como previos a la formación de conceptos, 4. Se
encuentra en una situación como para representar las formaciones de conceptos
que la ciencia realmente necesita, en contraste a las combinaciones
multiplicativas y aditivas relativamente estériles que encontramos en Boole, 5.
Necesita menos signos primitivos para las relaciones lógicas y por ello menos
leyes primitivas, 6. Puede ser usada para resolver el tipo de problemas que
Boole enfrenta, y aún hacerlo con menos reglas preliminares de computo. Ese es
el punto al cual le atribuyo importancia menor, puesto que tales problemas
ocurren rara vez en ciencia, si lo hacen".
Resulta esclarecedor conocer esta consideraciones acerca de autores
anteriores de un lógico tan significativo como Frege a quien se había
concebido como sin antecedentes. 10.
Dos trabajos publicados últimamente, de Grattan Guinness (1997, texto
original de 1988) y de Peckhaus (1997), dan una visión actual de nuestro tema.
Sobre ellos quisiera hacer algunas observaciones pertinentes. 10.1
Contra Gillies (1992) Peckhaus (1997), en referencia al descrédito que
afectaba ya desde Descartes al silogismo, dice: "Nevertheless glancing
through several 19th century logic books shows that the syllogism was no longer
a central topic. This
can be shown by playing Gillies' game of counting pages". Ahora
bien contar páginas, o dar porcentajes de páginas dedicadas al silogismo sobre
el total de cada texto de lógica, no es decisivo para fijar la centralidad, o
no, de un tema. Pero además resulta necesario saber qu, quiere decir 'central'.
Como vimos, el tratamiento del silogismo lejos de
estar ausente de los aportes a una nueva lógica, juega un papel
extremadamente destacado en la presentación de nuevas formas y procedimientos lógicos
que exceden ampliamente al silogismo.
Dada una nueva propuesta lógica casi invariablemente se la
aplica al silogismo (en número mayor o menor de páginas) para ponerla a prueba
como contraste. De ello resulta una "cota mínima" de validación de
la propuesta; por eso no resulta sorprendente que se recurra al silogismo en el
banco de pruebas. Y como subproducto de ello se efectúen ajustes tanto al nuevo
modelo como críticas a la teoría silogística anterior, en forma de
completamientos o rectificaciones. Pero, en general, previa o simultáneamente,
se expone la teoría anterior. Y hay muchos casos en que esto se hace de manera
ejemplar: eso se ve tanto en Boole como en los otros presentados en el presente trabajo como en algunos
significativos presentes en la historiografía: el propio Couturat (1901) lo
hace y basta recorrer las obras de lógica - no de arqueo-lógica - del siglo
xix para comprobarlo. Y dado que la teoría silogística se puede exponer en muy
pocas páginas - los ejemplos pululan, no es necesario buscarlos en recónditos
o extensos repositorios, ni en Hegel, se encuentra un texto paradimático al
respecto en Boole -, resultar que
el silogismo obtendrá en la encuesta magros porcentajes, tanto los indicados
tanto por Peckhaus como los que surgen de Gillies. El silogismo resulta nada
central en cuanto aporte pero central como modelo elemental de aplicación y de
contraste; al punto que se consideran importantes para la lógica nueva sólo
aquellos aportes que lo exceden. 10.2
A nuestro modo de ver el período cubierto por Grattan-Guinness (1997)
resulta demasiado largo para aplicarle hipótesis explicativas que lo abarquen
en su totalidad. En primer lugar difícilmente ello pueda hacerse de modo que
alcance no sólo las mitades pre- y postbooleanas del siglo xix sino
particularmente la porción cubierta del siglo xx. Hasta el entorno
institucional en cada uno de esos subperíodos es diferente. Con tal amplitud de
aplicación las hipótesis están sujetas a una aleatoriedad no soslayable. Y
resulta de ese modo, casi trivialmente, el dictum de oscilación: vida en común,
vidas separadas (Grattan Guinness).
Por otra parte, hay vidas y vidas. La poca atención que los matemáticos,
en general, presten a la lógica, es un tipo de vida que merece atenta
consideración aparte. Pero no es esa
vida en común, o divorcio, ya no mera separación, lo que interesa aquí.
El aporte de los matemáticos a la nueva lógica ha sido
decisivo. Por más que ciertos filósofos hayan contribuído al proceso
de su constitución; por más que Whately o Herbart o Lotze, para dar nombres de
distintos niveles - no es difícil encontrar algunos otros, mayores o menores
que ellos -, hayan producido textos interesantes, los aportes
significativos han
sido de matemáticos. Este hecho no es trivial, tiene sus explicaciones, pero no
es lo principal.
Para referirnos sólo a la primera mitad del siglo, las matemáticas del
período han sido o coadyuvantes o inductoras o en muchos casos determinantes de
los aportes de ese paso a una lógica nueva. Y para afirmarlo no es suficiente
con los casos presentados aquí. Ello aparece también con Bolzano, con Robert
Grassman o con De Morgan, pero no sólo con ellos. Mostrarlo prolijamente excede
como es obvio el presente trabajo, pero no es tarea abstrusa. En general se trató
de fértil vida en común, en el amor y en la descendencia.
En los casos analizados no basta por otra parte considerar sólo los
aportes lógicos estrictos. El algoritmo lógico-diagramático de Gergonne (y
las conclusiones que extrae de él) converge con sus aportes matemáticos y con
su teoría de las ciencias deductivas (ver par grafo 6); el "Apéndice lógico-matemático"
de Drobisch con el análisis combinatorio y
con temas matemáticos conexos; en Boole su producción en lógica algébrica
con su propio trabajo en el cálculo diferencial, y con los resultados de un
largo proceso vivido por la concepción algébrica del análisis;, en Frege, aún
como crítico de Boole, el aporte matemático resulta casi obvio.
NOTAS
(1) Por ejemplo L.Vega, Una guía de historia de la lógica,
Madrid, UNED. 1996, por más que Vega plantea y elabora problemas nada triviales
respecto a la interpretación histórica de la lógica.
(2) Vale la pena recordar las frases tan mentadas: "Que la lógica
ha procedido ya, desde los primeros tiempos, por este sendero seguro se pone en
evidencia por el hecho de que, desde Aristóteles no ha requerido retroceder un
solo paso, a menos que contáramos como mejoras el quitar ciertas sutilidades
innecesarias o la exposición mas clara de su enseñanza reconocida, rasgos que
conciernen más a la elegancia que a la certitud de la ciencia. Es notable también
que hasta hoy esta lógica no ha sido capaz de avanzar un solo paso" (Kant,
CRP, segunda edición, prefacio, B viii). Sobre la autenticidad de la llamada Lógica
de Kant ver Boswell (1988).
(3) En Nueva dilucidación de los principios primeros del conocimiento
metafísico, base de la disertación por la que Kant accediera a dar lecciones
en la Facultad de Filosofía (1755), nos dice: "He aquí un espécimen -
leve, ciertamente, mas no del todo despreciable - de la arte característica
combinatoria, porque los términos simplicísimos de que nos servimos para
declarar estos principios, en casi nada se diferencian de los caracteres. Qué
es lo que sienta de esta arte que, inventada por Leibniz, la han recuperado
todos los eruditos de enterrada que estaba con tal ilustre varón, lo explicar,
en esta ocasión; confieso advertir en este gran filósofo lo del testamento de
aquel padre de la f bula de Esopo, quien, a punto de expirar declaró a sus
hijos haber escondido un tesoro en el campo; mas, antes de indicar el lugar,
quedó de repente muerto; dio así a los hijos la ocasión de arar a fondo
diligentísimamente el campo y, cavándolo, beneficiarlo, hasta que perdida la
esperanza, resultaron más ricos por la fecundidad del campo. Tal es,
ciertamente el fruto único de trabajar con tan celebrado artificio que creo han
de esperar los que, si algunos hay, sean constantes en dirigirles sus
esfuerzos" (p. 83), y sigue en largo e interesante pasaje, hasta decir:
"Mas cuando se trate de expresar un conocimiento compuesto con el auxilio
de letras, toda la perspicacia del ingenio at scase de repente cual en escollo,
impedida por inextricables dificultades" (p.84). El tono desesperanzado y
hasta despectivo resulta quiz s una explicación del texto transcripto en la
nota anterior.
(4) Y no incluímos siquiera entre ellos a los lógicos leibnizianos ni a
Saccheri que, en muchos sentidos, parcialmente, podemos reconocer hoy que hacían
otra cosa. Si
bien se han producido numerosísimas obras repetitivas, en algunos casos se han
dado aportes que no debieran desconocerse.
(5) Risse (1965).
(6) Sea en estados
autoritarios nostálgicos de pasados remotos o en casos de burocratismo notorio,
increíble, de las autoridades escolares. El caso de los benditos inspectores de
filosofía ha sido bien frecuente.
(7) Usamos la expresión 'nueva lógica' o 'lógica nueva', aunque desearíamos
utilizar meramente 'lógica' para no emplear por ejemplo 'lógica matemática' o
expresiones similares. En general la distinción entre lógica algébrica y lógica
de raíz fregeana es suficientemente clara pero frecuentemente se designa a esta
vertiente como 'lógica matemática' cuando ambas vertientes lo son; entonces
usar la expresión 'lógica matemática' sería confundente/.
(8) Sluga (1980) ha mostrado de forma terminante los antecedentes del
pensamiento de Frege..
(9) Sobre "lógica" de la inducción, Mill, Bentham, ...
(10) Se ha exagerado mucho la importancia de la cuantificación del
predicado a mediados del siglo XIX; en realidad su historia se remonta a los
leibnizianos. Su papel real ha sido muy limitado.
(11) Los casos del Journal de Liouville o el de Crelle o el de varias
revistas inglesas (entre ellas el Cambridge and Dublin Mathematical Journal) son
ejemplares, aún sin hablar de las más antiguas revistas no disciplinarias de
las grandes academias.
(12) No consideramos aquí los profundos cambios en matemáticas, hasta
ontológicos, que tienen lugar en el siglo xix, porque se trata de algo muy
distinto al giro producido en la lógica.
(13) Sólo algunos. Elegir otros, Grassman o
Bolzano, ya sería tema de una fiesta excesiva y no de un artículo.
(14) Ver especialmente Lutzen,J. & Purkert, W.(1989).
(15) Dhombres, J. y & Otero, M.H.(1993).
(16)
Aparece como Neue Darstellung der Logik nach ihren einfachsten Verh„ltnisse,
mit Rcksicht auf Mathematik und Naturwissenschaft.
(17) Ver
Otero (1997).
(18) Posteriormente llamada inducción completa.
(19) Es como se la llama, sin perjuicio de los notorios aportes
irlandeses y escoceses.
(20) Wilkes (1977), Mosconi
(1983), Dubbey (1977 y 1984), han considerado distintos aspectos pero faltaría
ver su función como organizador, estructurador, en un largo período durante el
cual sus preocupaciones centrales variaron.
(21) Venn, el mismo año 1881, publica una obra cuyos análisis históricos
muestran claramente los desarrollos anteriores del tema, y desarrolla su propio
esquema diagramático. BIBLIOGRAFIA* Ashworth, W.(1996), "Memory, efficiency, and
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substance of the article in the Encyclopedia
Metropolitana,with additions, etc., Mawman, London Wilkes, M. (1977), "Babbage as a computer pioneer",
Historia
Mathematica, 4. +
Dada la extensión de la bibliografía disponible sobre los temas, limito ésta
y remito para otros textos a las referencias contenidas en los trabajos aquí
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