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informativa de galileo volumen
quince número tres
Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain. Les mathématiques aujourd'hui, París: Librairie Hachette, 1987, 298 pp. Traducción de la reseña de Miguel Espinoza, Les Etudes Phiosophiques, París, n. 1, 1990.
Al comienzo existe la curiosidad por resolver un problema, luego el matemático propone una solución que intenta formular y demostrar de la manera más precisa posible. Pero en esta tentativa encuentra dificultades que lo obligan a crear nuevas entidades y nuevas estructuras todavía más abstractas que las precedentes. Ahora bien, estas nuevas entidades y estructuras engendran nuevos problemas que aguijonean la curiosidad. Los dos caballos que tiran el coche matemático son la curiosidad, cualidad sicológica, y la exigencia de rigor, cualidad lógica. Esa es la idea de la matemática que se desprende de este libro cuyo objetivo es mostrar lo que es en sí la matemática, idea que casi nunca coincide con lo que la gente cree que es. No cabe duda de que el autor está calificado para llevar a cabo tal tarea gracias a su cultura matemática enciclopédica. La matemática aparece como una ciencia autónoma. Una primera crítica es que la naturaleza es continua y que a ella debería corresponder, en principio, un campo cognitivo continuo. Cada disciplina tiene un trasfondo formado por exigencias impuestas por otras ciencias. ¿Por qué la matemática sería una excepción? Se siente la omnipresencia de la exigencia de demostración rigurosa, de prueba sin falla. Por supuesto no todos los matemáticos dan tanta importancia a la prueba y al rigor. Los intuicionistas como Poincaré afirman, con desdén, que cuando existe una buena idea, siempre se encontrará a alguien para la probarla, y René Thom afirma que todo lo riguroso es insignificante. Uno tiene la impresión de que para Dieudonné, el espíritu algebraico domina al espíritu geométrico. El matemático no es el que razona por analogía, capaz de reducir la multiplicidad a la unidad, de ver que una misma organización se esconde detrás de fenómenos diferentes, sino "aquél que ha publicado al menos la demostración de un teorema no trivial". Se trata de la definición sociológica del profesional. ¿Es la pureza un fin en sí? Dieudonné respondería afirmativamente. ¿Por qué buscar la pureza? Por la gloria del espíritu humano. En respuesta al que no resiste la tentación de preguntar: "¿y para qué sirve la pureza?", el autor se complace en citar a Fontenelle: "de ordinario la gente califica de inútiles las cosas que no comprende". Habría que hacer una encuesta para averiguar la opinión de los que entienden. Es seguro que entre ellos hay muchos que se preguntan si vale la pena tanto esfuerzo para producir una demostración cuya finalidad es inmanente. Una opción diferente a la de Dieudonné consiste en reconocer que el objetivo de toda ciencia es la comprensión de la naturaleza. ¿Toca fondo en algún momento la búsqueda de prueba? Esta pregunta, que ha quitado el sueño a tantos empiristas y falibilistas, recibe una respuesta clara: no existe ninguna controversia sobre lo que es una demostración rigurosa en las teorías debidamente axiomatizadas. La demostración es posible sólo en el seno de una teoría cuyos objetos y relaciones primitivas han sido especificados y los axiomas que los unen exhaustivamente enumerados. Pero yo quisiera agregar que el número de teorías axiomatizadas es reducido. Uno no puede sino apreciar la erudición de Dieudonné, la maestría que le permite exponer brevemente algunos problemas claves, de distinguir los problemas profundos susceptibles de inaugurar programas de investigación interesantes de las curiosidades sin mañana. Entre los primeros se pueden mencionar, por ejemplo, en la teoría de números, los problemas de la representación de un número entero como suma de cuadrados de enteros. (Desde Diofantes se sabe que un número de la forma 4k +3 no puede ser suma de 2 cuadrados, que un número de la forma 8k +7 no puede ser suma de 3 cuadrados). Otra serie de problemas interesantes se encuentra en la clasificación de curvas en geometría algebraica. Después de la invención del método de coordenadas, los matemáticos se dieron cuenta de que las curvas planas cuya ecuación P(x,y) = 0 está dada por un polinomio P de grado 2, son las cónicas, lo que condujo a los matemáticos de los siglos XVIII y XIX a clasificar las curvas de ecuación P(x,y) = 0 según el grado del polinomio P. Newton describió las diversas formas de las curvas de grado 3, las cúbicas. Luego fueron clasificadas las superficies de ecuación P(x,y,z) = 0 donde P es un polinomio, etc. Estos estudios dieron origen a la geometría algebraica moderna. Estéril, por lo menos hasta nuevo aviso, es el problema de combinatoria de los 4 colores, popularizado en las revistas de divulgación científica: en un mapa geográfico se tienen n países y cada uno tiene uno o varios países vecinos. Cada país está separado de cada uno de los vecinos por una frontera que es un arco de curva. Se trata de averiguar si con 4 colores se puede pintar cada uno de los n países de manera que ningún par de países vecinos tengan el mismo color. El problema formulado hacia 1850 fue resuelto, como se sabe, en 1977 con la ayuda, durante más de un año, de un poderoso computador. Lo que llama la atención es la desproporción entre el trabajo realizado y las consecuencias. El lector estará agradecido del maestro que le muestra, en algunas páginas, los puntos críticos de la historia de las ideas matemáticas y que le permite formarse una idea, aunque ligera, del vuelo extraordinario de la matemática en el siglo XX. La contrapartida de la exposición condensada es que el resultado no es pedagógico: las soluciones llegan rápidamente, no se hace ver que se podría haber llegado a un mismo resultado por otras vías. (Algunos dicen que se trata de un estilo típicamente francés, que contrasta con el de los anglosajones o con el de las escuelas de Europa del Este). Se entra al libro como a una cristalería: cuidadosamente, se admiran las piezas ya sopladas, no se tocan. Si se me permitiera salir de texto, compararía la cristalería con el taller de los empiristas: les gusta mostrar la semejanza de la matemática con las ciencias de la naturaleza, hacer notar lo que las piezas terminadas deben a la experiencia, a la observación, al trabajo de generaciones, a la intuición que intenta arrancar información al inconsciente. Sobre los "monstruos" como la "curva" de Peano ("curva" que pasa por todos los puntos del cuadrado I x I), Dieudonné comenta que la enseñanza que debemos sacar es que entre los axiomas que definen los objetos geométricos y la intuición del espacio, hay una relación puramente superficial, contrariamente a lo que pensaban los matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Agrega que es absurdo hablar de la "verdad" de los axiomas en el sentido en que se entiende comúnmente esta palabra. ¿Es ésa una prueba de que este representante de la escuela Bourbaki no piense que el objetivo de la matemática sea la búsqueda de la verdad acerca del mundo? Sería arriesgado sacar tal conclusión porque el autor es característicamente reservado cuando se trata de emitir un juicio sobre la matemática. He hecho alusión a la manera como Dieudonné y luego los empiristas explican el progreso de la matemática. La explicación realista permitirá sacar "con tirabuzón" otra propiedad del autor. Los platónicos como Albert Lautman afirman que las teorías crecen gracias al forcejeo producido por ideas opuestas como discreto-continuo, local-global, finito-infinito, fuerzas más abstractas que los entes matemáticos. Reconocen una realidad matemática inscrita en la realidad física, por eso la aplicación de la matemática no es un milagro sino una adecuación que se podía esperar. Dieudonné está cerca de reconocer la realidad matemática puesto que expone elementos que contribuyen a su unidad. Al comienzo, habla de la unidad como de algo misterioso, pero más adelante escribe que uno toma conciencia de ella a medida que uno se da cuenta de que una misma estructura (de orden, topológica, algebraica) puede aparecer en teorías diferentes. Las observaciones sobre este punto, como otras de carácter filosófico, son tímidas, fluyen subterráneamente. Dieudonné forma parte de los científicos que, por falta de profundidad de espiritu, creen que la filosofía distrae y que es, en el fondo, inútil al profesional, lo que hace que la lectura filosófica del libro no sea fácil. El autor no especula, por ejemplo, sobre las fuentes naturales de las estructuras matemáticas de base. Se limita a decir que en una teoría, el rol principal pertenece a las relaciones entre los objetos más bien que a la naturaleza de ellos: cómo no ver ahí una marca de idealismo puesto que se abandona la sustancia y se conserva la relación. PUBLICACIONES RECIBIDAS - Lenoir, Timothy (1998). Revolution from above; the role of the state in creating the German research system, 1810-1910. In: The American Economic Review, v. 88. - Martin, Brian (1988) Mathematics and social interests. Search, v.19. - Mauxion, Marcel (1894) La métaphysique de Herbart et la critique de Kant. Hachette, Paris. - Shapiro, Stewart (2006) Vagueness in context. Oxford University, Oxford. - Soury, Jules (1881) Bréviaire de l’histoire du matérialism. Charpentier, Paris. |
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