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informativa de galileo volumen dieciocho número
seis
Giaquinto, Marcus (2007) Visual thinking in mathematics: An epistemological study. Oxford University, Oxford. En los últimos años la problemática en torno a la visualización en las ciencias formales se ha consolidado como uno de los problemas de agenda para la filosofía de la ciencia. Además, actualmente es común encontrar trabajos sobre el tema de académicos de otras áreas, como la informática, la matemática, y las ciencias cognitivas, confirmando la naturaleza interdisciplinar del problema. En Visual Thinking in Mathematics: An Epistemological Study Marcus Giaquinto da un gran ejemplo de cuan fructífero e interesante puede ser enfocar un problema principal y tradicionalmente filosófico desde una perspectiva interdisciplinar. De este modo lleva a cabo un ambicioso proyecto que busca dar un tratamiento coherente a la problemática de la visualización en sus diversas dimensiones recurriendo constantemente a modelos explicativos de las ciencias cognitivas.
Entre otras cosas, en el libro se discute el aporte de los diagramas y las figuras al proceso de descubrimiento en matemáticas, su función en contextos de enseñanza y transmisión de conceptos formales, las cualidades epistemológicas de las representaciones visuales a nivel formal y su posible aporte a las pruebas, y la naturaleza y función del razonamiento visual en la práctica matemática. Según Giaquinto, las representaciones visuales en las matemáticas se tornaron muy impopulares desde el siglo XIX. El creciente entusiasmo impulsado por los logros en lógica y en análisis dio lugar a una tendencia formalista que promovía el desuso y hasta la eliminación de los diagramas y otros componentes dependientes del análisis visual de las matemáticas. Las representaciones visuales quedaban relegadas a un uso meramente heurístico e ilustrativo, aceptadas en contextos de enseñanza y divulgación de la disciplina pero negadas en contextos de prueba y descubrimiento. Esto dio lugar a que en el siglo XX tuviéramos una visión devaluada de las capacidades epistémicas de los diagramas, e incluso, una fuerte desconfianza en cualquier apelación al razonamiento visual en contextos formales. En casi la totalidad de los problemas que trata Giaquinto en su libro los argumentos se inclinan positivamente hacia los diagramas y el razonamiento visual. El lector podrá verificar en repetidas ocasiones la intención del autor de revalorizar el uso de imágenes y razonamientos visuales en todos los estratos de la práctica matemática. El concepto central del libro es el de razonamiento visual. A través de él se investigan e interrelacionan las representaciones visuales externas y las representaciones espaciales internas. Hay una marcada intención del autor de estudiar las propiedades semióticas de los diagramas en contextos formales y sus cualidades epistémicas mediante el estudio de los procesos cognitivos que ocurren en un sujeto cuando se enfrenta a situaciones que le pueden reportar información visual. Giauqinto se pregunta, por ejemplo, por los procesos cognitivos que hacen que un sujeto puede llegar a adquirir una creencia matemática cuando se enfrenta a cierta situación visual, o por la ruta causal desde la experiencia visual (de ver o imaginar) a la creencia matemática (p.2). Del capítulo 2 al capítulo 5 Giaquinto el libro trata sobre la relevancia de la visualización para la geometría. Dos preguntas son centrales en esta discusión, la primera es epistemológica: ¿Cómo podemos adquirir conocimiento geométrico básico?, en tanto que la segunda concierne a la posibilidad de usar legítimamente diagramas en las pruebas matemáticas. El primer objetivo de Guiaquinto es construir un modelo de explicación que dé cuenta de la posibilidad de que ciertas creencias fundadas en la visualización sean conocimiento. En el capítulo 2 del libro, recurriendo a las ciencias cognitivas, el autor propone el concepto de “especificación de una categoría visual”, y lo explica para los cuadrados, una especificación de una categoría visual consiste en cierto conjunto de características que al ser detectadas por el sistema visual de un sujeto son percibidas por el mismo como una forma. Esta noción es clave para el desarrollo de los argumentos posteriores. Luego de definir esto, Giaquinto desarrolla la noción de concepto perceptual, sutilmente distinta a la anterior. Se dirá que un sujeto posee un concepto perceptual de cierta forma (geométrica) cuando tiene la disposición de juzgar cierta experiencia perceptual propia como si fuera el correlato ideal de esa forma, por ejemplo, cuando un sujeto percibe un objeto aproximadamente cuadrado, hace uso del conjunto de rasgos que especifican la categoría visual de cuadrado, y lo subsume bajo el concepto de esa forma (que es una noción ideal y perfecta). Según Giaquinto, existe cierta subclase de los conceptos perceptuales que contiene a los conceptos geométricos, estos también son disposiciones para juzgar ciertos contenidos perceptuales como formas geométricas, pero en este caso, estos contenidos responden a la presencia de una instancia perfecta de la forma. Estas definiciones son el preludio de lo que a Giaquinto parece interesarle principalmente: discutir como la percepción visual puede dar lugar a conocimiento, y más aún, como puede dar lugar a conocimiento matemático. Giaquinto sostiene una postura en la que la visualización, a través de ciertas particularidades de nuestro sistema perceptual, implica una disposición inferencial que hace posible que un sujeto pueda sostener ciertas creencias a partir de ciertos inputs perceptuales. Los conceptos geométricos y perceptuales nos proveen de ciertas disposiciones a formar creencias sobre las formas, que son desencadenadas por experiencias visuales (también por lo que el autor llama imaginación visual), cuando estas disposiciones son confiables, las creencias a las que dan lugar pueden resultar conocimiento. En este marco teórico Giaquinto asume un fuerte compromiso filosófico al revivir la discusión kantiana sobre el carácter sintético a priori del conocimiento matemático; con la particularidad de que lo hace en referencia constante a resultados de las ciencias cognitivas, hábito poco común entre los filósofos. Hasta el capítulo 6 la discusión sigue centrada en la geometría, pero atendiendo a dos problemáticas distintas. En primer lugar, se busca aclarar cuál es el rol de los diagramas y de la imaginación visual en los descubrimientos geométricos y en el desarrollo de la matemática. Para eso Giaquinto discute los posibles modos de obtener conocimiento geométrico a partir de ciertos conocimientos básicos (también geométricos), entendiendo que un conocimiento es “básico” cuando no es obtenido a través de procesos inferenciales. El interés del autor al desarrollar esta discusión es argumentar a favor de que los diagramas poseen un rol epistémico relevante en los descubrimientos en geometría. En segundo lugar, Giaquinto se encarga de discutir el rol de los diagramas y la visualización en las pruebas matemáticas, quizás el lugar en el que los diagramas han sido más devaluados. Las razones de la impopularidad de los diagramas en las pruebas son variadas, pero hay dos que sobresales: 1. cierta facilidad que parecen dar los diagramas para realizar generalizaciones ilegítimas, y 2. la posibilidad de extraer de un diagrama más información (o información irrelevante) de la que necesita la prueba. Lo que intenta mostrar el autor es que hay ciertos casos en que los diagramas no son superfluos, redundantes y/o traducibles a sentencias, sino que, en ciertas pruebas pueden ser cruciales e irremplazables. A su vez, da un interesante ejemplo de prueba sentencial que da lugar a generalizaciones ilegítimas, mostrando que este tipo de pruebas no es un defecto exlusivo de los diagramas. Una vez más, Giaquinto pretende defender que el uso de diagramas y razonamientos visuales puede ser legítimo y hasta necesario aún en los contextos más formales de la matemática. Del capítulo 6 al 8 el libro el autor se ocupa de analizar el lugar del razonamiento visual en la aritmética. Giaquinto vuelve a recurrir a las ciencias cognitivas enriqueciendo de manera muy interesante la discusión; nuevamente su intención es mostrar que el razonamiento visual tiene un lugar relevante incluso en los sectores de la matemática que parecen no involucrar nociones o conceptos espaciales, aquellos que pueden ser considerados más “formales”. Entre otras cosas, el autor analiza los aspectos visuales del cálculo aritmético y llega a una conclusión bastante controversial: que el conocimiento aritmético básico tiene fundamento empírico, no analítico o puramente conceptual. A su vez, concluye que el conocimiento geométrico no es empírico, invirtiendo la visión más extendida sobre el conocimiento matemático. Escribe Giaquinto en la página 125 del libro: So our basic arithmetical knowledge is empirical. In contrast, our basic knowledge of geometry, I believe, is not empirical but conceptual (in the manner set out in Chapter 3). If this is right, the situation is the reverse of what is often believed, namely, that basic geometrical knowledge is empirical while arithmetical knowledge is a matter of pure reason. En el capítulo 9 Giaquinto investiga las posibilidades del razonamiento visual y el rol de los diagramas en el análisis matemático. Se ocupa de principalmente de estudiar algunos conceptos y teoremas centrales del cálculo infinitesimal básico, y discute la extendida visión que considera a las visualizaciones como meras herramientas heurísticas (prescindibles) en el desarrollo de las partes más abstractas de las matemáticas. Si bien su conclusión es positiva para el razonamiento visual, el autor está de acuerdo en que en los sectores de la matemática mencionados es muy difícil encontrar un rol epistémico relevante para las visualizaciones, en especial en las pruebas. A pesar de esto, afirma que, usados de modo correcto, los diagramas pueden ser fructíferos para la práctica de la matemática y el descubrimiento en ramas como el análisis. Los últimos tres capítulos del libro se centran en la investigación de la manipulación simbólica en matemáticas y en criticar la tendencia (muy extendida) a dividir el pensamiento matemático entre razonamiento algebraico y razonamiento geométrico. Con respecto a lo primero, Giaquinto propone que la manipulación simbólica algebraica depende del sistema visual humano e implica distintas formas de razonamiento visual, al punto de poder ser considerada, ella misma, como una instancia de razonamiento visual. Con respecto a lo segundo, el autor, apoyándose en lo dicho en capítulos anteriores, argumenta en contra de plantear la distinción entre razonamiento algebraico y razonamiento visual en términos dicotómicos. Para Giaquinto, esta distinción, lejos de ser una dicotomía, debe ser planteada como un espectro gradual, que no trata sobre un modo de pensar estrictamente matemático, sino entre un modo de pensar espacial y otro no-espacial. A modo de valoración final, cabe decir que el libro es tan interesante como ambicioso, y que si bien el gran espectro temático que abarca parece, por momentos, costarle al autor cerrar de manera convincente la totalidad de sus propuestas, la claridad con la que en el libro se plantean los problemas y su fuerte asgo interdisciplinario abren prometedores caminos de investigación.
Matías OSTA LIBROS RECIBIDOS Bell, E. T. (1965) Men f mathematics; the lives and achievements of thegreat mathematicians from Zeno to Poincaré. Simon & Schuster,New York NY /publicación original 1937/. Edgerton, David (2011) Britain’s war machine. Weapons, ressouces, and experts in the second worl war. Oxford University, New York. Hallett, Michael & Majer, Ulrich (eds., 2004) David Hilbert's lectures on the foundations of geometry, 1891-1902. Springer, Dordrecht.Hartshorne, Robin (ed., 2010) Geometry: Euclides anss bejond. Springer, .Ne York NY. Kitcher, Philip (2011) Science in a democrratic society. Prometheus, Amherst NY. Johnson, Steven (2010) Where good Ideas come from: the natural history of innovation. Lanzmann, Claude (2009) Le lièvre de patagonie. Gallimard, Paris. Loewe, Thomas Mueller ( ) hiMSAMP Philosophy of mathematics: sociological aspects and mathematical practice. XXX Murawski, Roman & Wolenski, Jan (eds,. 2010) Essays in the Philosophy and Historyof logic and mathematics. Rodopi, Amsterdam. Michael Potter & Tom Ricketts (eds., 2010) The Cambridge companion to Frege.. Cambridge University, Cambridge. Wolenski, jan (2010) essays in history of logic and mathematics.Rodopi, Amsterdam. |
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