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informativa de galileo volumen dieciocho número
cinco
¿AUTONOMÍA DE LAS MATEMÁTICAS? Franks, Curtis (2010) The autonomy of mathematical knowledge: Hilbert program revisited. Cambridge University, Cambridge. La versión oficial acerca del Programa de Hilbert dice que dicho programa intenta dotar a la matemática de un fundamento basado en la formalización y axiomatización de las teorías matemáticas, junto con una prueba finitista de su consistencia. Este libro ofrece sin duda una interpretación novedosa acerca de programa de HiIbert en armonía con la tendencia contemporánea –en filosofía de la matemática- a adoptar enfoques naturalistas ante los viejos debates acerca de los fundamentos de la matemática. Lo que Franks hace es, a grandes rasgos, una naturalización del Programa de Hilbert; esta naturalización es identificada por el autor con la tesis (que titula el libro) acerca de la autonomía de la matemática. En este sentido, el libro plantea dos tesis referidas a esta autonomía: (a) una tesis de carácter histórico que consiste en sostener que el verdadero propósito del programa era defender la autonomía del conocimiento matemático (siendo el “finitismo” o “formalismo” meras prerrogativas metodológicas); y (b) una tesis de carácter más conceptual en la que se afirma la necesidad de revalorizar las ideas de Hilbert a la luz de los resultados obtenidos en teoría de la prueba. En este libro, la autonomía consiste en afirmar la no necesidad de acudir a otras áreas del conocimiento (la filosofía especialmente) para justificar los procedimientos matemáticos –i.e. los procedimientos matemáticos pueden y deben ser estudiados matemáticamente. Esta fue, según el autor, la innovación de HIlbert (“Mathematics is a way of knowing that cannot and need not be justified on any a priori grounds”, p. 61). La tesis (a) se encuentra desarrollada en los dos primeros capítulos; en la primera página Franks expone lo que denomina como una “paradoja intolerable” cuya disolución funge como el propósito del libro. A pesar de que las ideas de Hilbert acerca de la matemática son rechazadas hoy, la ciencia a la que dieron origen (la metamatemática) es hoy prolífica. ¿Pueden ser reivindicadas o revalorizadas las ideas de HIlbert sobre la base del éxito de la ciencia a las que dieron origen? Esta hipótesis “pragmática” como la llama Franks (p. 25) parece bastante dudosa, no tenemos por qué reivindicar el logicismo de Frege a pesar de que utilizamos la teoría de la cuantificación que él generó. Sin embargo, la vuelta de tuerca en el argumento de Franks es que el progreso de la metamatemática, e incluso el propio teorema de incompletitud de Gödel (el segundo) son evidencia de la vigencia de las ideas de Hilbert, puesto que ponen de manifiesto que los problemas de la matemática pueden y deben ser matemáticamente trabajados; es decir, afirman la autonomía de la matemática. La autonomía de la matemática es en sí misma una contribución filosófica, o en palabras de Franks: “His philosophical strength was not in his ability to carve out a position among others about the nature of mathematics, but in his realization that the mathematical techniques already in place suffice to answer questions about those techniques — questions that rival thinkers had assumed were the exclusive province of pure philosophy. … One must see him deliberately offering mathematical explanations where philosophical ones were wanted. He did this, not to provide philosophical foundations, but to liberate mathematics from any apparent need for them.” (p. 7). Con el propósito de obtener esta autonomía Hilbert inventó una “nueva ciencia” (cuyo nombre es el título del primer capítulo del libro): la metamatemática. Ésta es parte de la matemática misma, por lo que reafirma la autonomía de la matemática. Desde el punto de vista de la investigación histórica, la atribución de naturalista (capítulo II) que Franks hace sobre Hilbert descansa fundamentalmente en una conferencia de 1922 (“Neubergr¨undung der Mathematik. Erste Mitteilung,” Abhandlugen aus dem Mathimatischen Seminar der amburgischen Universit¨at 1: 157–77). Dado que las variaciones del pensamiento de Hilbert son un tema conocido (Hilbert's Programs: 1917-1922, en The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 5, No. 1 (Mar., 1999), pp. 1-44 de W. Seig es un buen testimonio de ello), el hecho de que Franks se base prácticamente en una sola conferencia es algo objetable. Sin embargo, la argumentación de Franks es convincente en tanto interpretación alternativa a las de Tarski (p. 2) y G. H. Hardy (p. 3), en el entendido de que ninguna de ellas da cuenta de la relación entre las ideas de Hilbert y su contraparte técnica.
El punto que el autor quiere defender es que el finitismo y el formalismo hilbertiano no constituyen la “filosofía de la matemática” de Hilbert, sino un procedimiento que evita la evaluación circular de los métodos matemáticos.
Más aún, es la naturaleza formalista de la teoría lo que permite separar la metamatemática de cualquier proyecto fundacionista o filosófico:
El problema de la consistencia, por otra parte, no es visto en esta interpretación como un requisito para la justificación de una teoría matemática o de la matemática misma. Ésta está justificada en su aplicación, por medio de una historia de éxitos (p. 44). El papel de las pruebas de consistencia no es el de saber que la matemática es consistente, sino el saber que la matemática no necesita apelar a una “filosofía primera” para legitimizarse (p. 45). Con respecto a la tesis (b), hacia el final del libro Franks afirma que el desarrollo de la teoría de la prueba es evidencia de la autonomía de la matemática, y en este sentido vindican el naturalismo hilbertiano. Esto sucede de dos modos: (1) es evidencia de que Hilbert tenía razón en preocuparse por el hecho de que extrapolar los problemas de la matemática hacia la filosofía hacía más mal que bien; (2) ha tenido la consecuencia de cambiar el foco de interés de los programas filosóficos fundacionales a las posturas naturalistas, mostrando así evidencia de la autonomía. (p. 196). Esto no quiere decir que las ideas de Hilbert sean verdaderas en virtud de su influencia, sino en el modo en que tal influencia ha sido ejercida (ibid.), al proponer que la consistencia de la matemática es mejor vista como un problema matemático que como uno filosófico (“he [Hilbert] merely invited us to look at things defferently” (p. 197)). Uno de los mejores momentos del libro, es cuando aborda la cuestión de si la lectura intensionalmente correcta del segundo teorema de incompletitud de Gödel puede ser obtenido para sistemas aritméticos débiles como el Q de Robinson. El problema que aquí deviene urgente es el de ver si el teorema establece lo que pretende. Gruesamente dicho, este teorema dice que una teoría aritmética T no puede probar su propia consistencia (si T es consistente); pero para que esto pueda ser establecido el enunciado que afirma la consistencia de T debe ser “reconocido” por T como un enunciado de T. Aquí Franks se sirve de la interpretación que hace Feferman (“Arithmetization of metamathematics in a general setting,” Fundamenta Mathematica 49: 37–92, 1960), donde distingue entre una primer y segundo teorema de incompeltitud; en este último caso el “significado” de la afirmación depende de que puede ser “entendida” por la teoría. No podemos aplicar el teorema a teorías cuyo lenguaje no es capaz de reconocer el enunciado que afirma su propia consistencia. El problema de la formulación de la consistencia nos conduce a revisar las técnicas de aritmetización. El punto de Franks es que una formulación intensionalmente correcta debe ser formulada en términos de la probabilidad de Hebrand (que son pruebas proposicionales, y por ende computacionalmente más sencillas). Finalmente, tres cosas a destacar de este libro. La primera es que se pasa revista a dos técnicas diferentes de aritmetización (las de Hebrand y Gödel), esto es destacable porque usualmente se hace referencia sólo a la segunda. Además, este libro ofrece una introducción amena a la noción de demostrabilidad en Herbrand; y finalmente una buena exposición de la aritmética de Robinson. En resumen, tenemos aquí un libro que es, ni más ni menos, que un libro más en la biblioteca de interpretaciones sobre el Programa de Hilbert. Guillermo NIGRO. LIBROS RECIBIDOS Chalmers, David et al. (2009) Metametaphysics: new essays on the foundation of ontology. Oxford University, Oxford. Côté, James E. & Allahar (2011) Lowering higher education; the rise of corporate universities and the fall of liberal coeducation. University of Toronto, Toronto. Pasch, Moritz (2010) Essays on the foundation of mathematics. Springer, Dordrecht. Rescher, Nicholas (2008) Presumption and the practices of tentative cognition. Cambridge University, Cambridge. Hallett, Michae (2004) David Hilbert's lectures on the foundations of geometry, 1891-1902. Springer, Dordrecht. Diánoia, volumen LVI,, número 66, 2011. Revue
d’Histoire des mathématiques (Société Mathématique de France), tome 17,
fascicule 1, 2011. |
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