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El siguiente es un texto significativo del proceso de transición de la lógica tradicional a la lógica matemática. Jean Bernoulli ocupa un lugar central en el mismo. La traducción presentada es debida a Mauricio Beuchot. Puede consultarse una bibliografía básica de aquel período, realizada por Alonzo Church, en Journal of Symbolic Logic de 1937, todavía válida. DECLARACIONES LOGICAS SOBRE LAS PROPOSICIONESJean BERNOULLI I. Si, al comparar ideas, encontramos que una conviene o no conviene a otra, esta acción de la mente se llama juicio.
II. Y, cuando unimos o separamos entre sí tales ideas por medio de la cópula “es”, ya explícita, ya implícita, formamos una enunciación o proposición; la cual será afirmativa, si unimos ideas, y negativa, si las separamos.
III. Las ideas de las que [algo] se predica, esto es, se afirma o se niega, son el sujeto; las demás, que se predican, son el predicado de la enunciación.
IV. Si el sujeto se toma en toda su amplitud o extensión, la enunciación se llama universal; exceptuando el caso en el que el sujeto es un término singular, pues entonces la enunciación se dice singular.
V. Pero, si se restringe a una parte indeterminada de su extensión, será particular.
VI. Si toda una idea se contiene cabe otra, ¿podrá siempre afirmarse universalmente de ésta? Sí, pues ya que todo lo que concibo en figura también lo concibo en triángulo, puedo formar esta proposición universal: “Todo triángulo es figura”, y esta universalidad puede llamarse esencial, a diferencia de la accidental.
VII. En efecto, son proposiciones accidentalmente universales aquellas en las que la idea del predicado no se contiene cabe la idea del sujeto. Por ejemplo, “Todo hombre es mortal” es una enunciación universal accidental, pues la idea de la mortalidad no se comprehende en la idea de hombre.
VIII. De aquí que todas las proposiciones en las que el género, o la diferencia, o ambos, se afirman universalmente de la especie, son universales esenciales; pero éstas no merecen como propio el nombre de proposición, y más correctamente pueden llamarse proposiciones verbales, a saber, en cuanto que consisten en meras palabras; pues no junto dos o más ideas si predico de sí misma una y la misma, o parte de ella, designada con diverso nombre.
IX. Una y la misma proposición puede ser universal esencial bajo un respecto y accidental bajo otro respecto; así, si digo “Toda parábola tiene cuadrados proporcionales a las abscisas de las aplicadas”, si la proporcionalidad de las abscisas y de los cuadrados de las aplicadas se toman como la diferencia de la parábola, la proposición será universal esencialmente; pero si se toman como propio, entonces será universal accidentalmente.
X. Una y la misma idea puede convenir a muchas otras muy diversas; de aquí que el predicado de la enunciación afirmativa, aunque sea universal, no se toma universalmente, sino sólo según una parte de su extensión, en la cual conviene con el sujeto.
XI. De lo cual se sigue que la proposición universal afirmativa no puede convertirse de manera simple.
XII. Si alguna idea no conviene a otra, es evidente que no le conviene a ella misma según toda su extensión; de aquí que el predicado de la enunciación negativa, aunque sea particular, se toma de manera universal.
XIII. De aquí también [se sigue] que la proposición particular negativa no se convierte de manera simple.
XIV. A las dos especies de oposiciones: la contrariedad y la contradicción, puede añadirse una tercera, compuesta de ambas; a saber, la que resulta de una enunciación singular, por ejemplo “Guillermo es rey” – “Guillermo no es rey”. Pues estas enunciaciones pueden ser contrarias, porque sólo difieren en cualidad, y convienen en cantidad, en cuanto que ambas singulares son equipolentes a una universal; pero también son contradictorias, porque siempre será una verdadera y la otra falsa, lo cual sólo compete a la contradicción.
XV. Si dos proposiciones contrarias son ambas falsas, necesariamente las dos subcontrarias serán verdaderas; y recíprocamente, conservando el mismo sujeto predicado de las proposiciones.
XVI. Pero, si una de las contrarias es verdadera, necesariamente una de las subcontrarias será verdadera y la otra falsa.
XVII. Las enunciaciones afirmativas se pueden cambiar (permaneciendo el mismo sentido) en negativas, y, viceversa, las negativas en afirmativas. Pero, ya cambiadas, tendrán el predicado que en las Escuelas se llama infinito, por la adjunción de la partícula “no”. Así, esta enunciación afirmativa: “Todo hombre es pecador”, se cambia en esta negativa equivalente: “Ningún hombre es no pecador”. Y esta negativa: “Ninguna materia piensa”, se convierte en esta afirmativa: “Toda materia es no pensante”.
XVIII. De aquí resulta patente por qué razón los cuatro modos de los silogismos de la primera figura se pueden reducir sólo a dos, pues los silogismos en Celarent y Ferio se cambian a Barbara y Darii. Así también los seis modos de los silogismos de la tercera figura se reducen a tres, pues también Felapton, Bocardo y Ferison se cambian a Darapti, Disamis y Datisi.
XIX. En lo cual hay que notar que por esta razón todos los silogismos de la primera y tercera figuras, que concluyen negativamente, pueden cambiarse a otros que concluyen afirmativamente.
XX. Los silogismos de la segunda figura ciertamente se pueden reducir a dos modos, a saber, cambiando Cesare a Camestres y Festino a Baroco, o a la inversa; pero siempre concluirán negativamente.
XXI. La razón de esto es que, en la primera y en la tercera figuras, la proposición mayor y la conclusión se cambian en sus infinitas, y la proposición menor permanece; pero en la segunda figura, permaneciendo la conclusión, la mayor y la menor se dan infinitas.
XXII. A las tres especies de enunciaciones, la de las simples, la de las complejas y la de las compuestas, se puede añadir una cuarta, la de las vagas, a saber, en las que el sujeto no se determina ni expresamente ni por el sentido, como son las interrogativas e imperativas; pues en éstas el sujeto se puede suplir a voluntad, como en ésta: “Detén el paso, caminante”. Para determinar el sujeto de esta enunciación, se puede convertir en ésta: “Es mi voluntad que detengas el paso”, donde “mi voluntad” será el sujeto. Pero, si la convirtiese en ésta: “Tú, caminante, te pido que detengas el paso”, tendrá como sujeto “Tú, caminante”.
XXIII. De manera igual, ésta: “Di por qué” es vaga, es decir, una que admite varios sujetos. Pero, hablando con propiedad, tales expresiones no son enunciaciones, pues la intención del hablante no es afirmar ni negar algo, y, por eso, consideradas en sí mismas, no son verdaderas ni falsas.
XXIV. Así, pues, la operación de la mente que estas expresiones producen en aquel a quien se profieren es como algo intermedio entre la simple aprehensión y el juicio. Pues suscitan algo más que una simple aprehensión; porque la mente no se aquieta en la mera contemplación de las ideas, sino que además se determina a responder o a hacer aquello que se desea. Pero suscitan menos que el juicio, a saber, porque la mente no forma ni la conveniencia ni la disconveniencia de las ideas, esto es, ni afirmación ni negación.
XXV. Se dan enunciaciones en las que el sujeto puede tomarse por la parte del predicado, y la parte del predicado como sujeto; las cuales, por eso, pueden llamarse indiferentes, como lo es ésta: “No a cualquier hombre le acontece ir a Corinto”, donde “algún hombre” es el sujeto, porque de él se predica que no puede “ir a Corinto”; pero también “ir a Corinto”, que era parte del predicado, puede ser sujeto, ya que de él se predica que “no a cualquier hombre le acontece”.
XXVI. Del mismo modo, en esta proposición: “Sólo a Dios la gloria”, el sujeto puede ser uno u otro, tanto “Dios” como “la gloria”; aquél, porque de “Dios” se afirma que sólo a él se le debe la gloria; y éste, porque de “la gloria” se afirma que sólo se le debe a Dios; pero, cualquiera que se tome como sujeto, el otro será parte del predicado.
XXVII. Si a las enunciaciones iniciativas y cesativas [o de “incipit” y “desinit”, i.e. las que llevan “comienza” y “termina”], que vulgarmente se llaman exponibles, esto es, a aquellas que son compuestas en el sentido, se les puede añadir una tercera especie, la de las continuativas, con el mismo derecho también añadimos una cuarta, la de las intermisivas, en las cuales las cosas se hallan en un estado en el que, puesto que han de salir, todavía no existen; como cuando digo: “La guerra entre los franceses y los alemanes todavía no está acabada”.
XXVIII. Aun cuando las continuativas y las intermisivas parecen ser una y la misma cosa, ya que en ambas se dice que las cosas permanecen en su estado; sin embargo, establecemos entre ellas la misma diferencia que se da entre las iniciativas y las cesativas; pues también en estas dos se dice que las cosas que tenían antes un estado, ya no lo tienen más.
XXIX. Por otra parte, a éstas se les pueden agregar otras especies de exponibles, a saber, las adventivas, como “Pronto tendremos el solsticio de invierno”; las preteritivas, como “Hace tiempo el ingenio era más precioso que el oro”; y las presentativas, como “Pero ahora es gran barbarie no tener nada”.
XXX. En efecto, todas estas enunciaciones son compuestas en el sentido; pues, afirmando o negando una cosa, al mismo tiempo tácitamente afirman o niegan otra cosa.
XXXI. Y de este modo hay muchas enunciaciones que, consideradas como simples, se pueden trasladar a las exponibles.
ANEXOS VARIOS
I. Toda enunciación universal puede considerarse no sólo como compleja, sino además como compuesta.
II. Las enunciaciones universales afirmativas en las que la diferencia se predica de la especie no pueden convertirse de manera simple, en contra del autor del Ars Cogitandi (Arte de pensar).
III. La demostración que el mismo autor hace de que el número de los modos del silogismo son diez, es insuficiente, pues sólo demuestra que no pueden ser más, pero no que no puedan ser menos.
IV. Este silogismo: “Todo hombre honesto puede decir mentira; pero ningún hombre honesto es vicioso; luego alguien que no es vicioso puede decir mentira”, concluye muy bien, aunque parece pecar contra la última ley general y contra la primera de la tercera figura.
V. Diciendo la verdad, a veces mentimos; y, a la inversa, diciendo la mentira, no siempre mentimos.
VI. Un hombre viciosísimo puede a veces hacer una acción preclara de virtud.
VII. La regla de la proporción que se da en el Sistema Heerebordiano: “Cuando una de dos cosas conviene a una tercera singular e incomunicable, no conviene a la otra, y también éstas no convienen entre sí”, es falaz; y el ejemplo que allí se añade sólo es verdadero por accidente. Pues de que a Aristóteles le haya convenido ser filósofo y no le haya convenido ser ateniense, ineptamente se deduce: “Luego algún ateniense no fue filósofo”; pues ciertamente todos los atenienses podían haber sido filósofos; pero, a fin de que se vea más patentemente lo absurdo de esta secuela, en lugar de “filósofo” substitúyase “hombre”, y así se seguiría que, porque a Aristóteles le convino haber sido hombre, y no le convino haber sido ateniense, algún ateniense no fue hombre, lo cual es absolutamente ridículo.
VIII. El principio: “No se da salto en la naturaleza de las cosas” es fecundísimo, pues con un golpe se destruyen los tres elementos de Descartes.
IX. Con la suposición del vacío diseminado se puede explicar muy cómodamente la naturaleza del movimiento, pues sin este vacío toda la mole del universo sería algo compacto, durísimo e inmóvil.
X. Por ello también ayuda el decir que la naturaleza del cuerpo todavía no ha sido completamente considerada; y, por la suposición del lleno, se llegaría a semejantes inconveniencias.
XI. Querer explicar la naturaleza de la reflexión y la refracción por este axioma: “La naturaleza hace el camino más breve”, es explicar lo obscuro por algo igualmente obscuro. Añádase que, en cuanto a la reflexión, eso no tiene lugar sino en las superficies convexas, planas y algunas cóncavas; pues en muchísimas otras hace un camino más largo.
XII. Quien de la gravedad de aire deduce la suspensión del mercurio en el barómetro, ese tal no ha considerado suficientemente la naturaleza del aire.
XIII. Se puede tener la idea no sólo de una cosa no existente, sino aun imposible.
XIV. Se dan extensos cuyas partes no son contiguas.
XV. Se dan grados en el reposo, esto es, un reposo mayor que otro, o un cuerpo reposa más que otro.
XVI. Si un ratón orina en el mar, todo el océano se conmueve.
XVII. El elemento del cuerpo grave (a saber, aquella partícula del cuerpo que no tiene poro, o que se intercala entre dos poros próximos) es un infinito de infinitas veces mayor que el más grande glóbulo de materia etérea, por cuyo impulso se causa la gravedad de los cuerpos.
XVIII. La mínima fuerza de percusión es mayor que la máxima fuerza de peso.
XIX. El rayo visivo o solar no procede en línea recta, sino en línea curva.
XX. La Luna no es más planeta que los satélites de Saturno o de Júpiter.
XXI. La luz que se observa en el plano de la elíptica, durante el tiempo de los equinoccios, antes del nacimiento y después del ocaso del Sol, y que hace pocos años fue detectada por el Sr. Casino, astrónomo regio parisiense, maravillosamente confirma el vórtice del Sol y de la Tierra, y la giración circular de los demás planetas.
XXII. Todo número primo difiere en una unidad del múltiplo del senario, exceptuando el 2 y el 3.
XXIII. Por eso se da una ley cierta en la progresión de los números primos, la cual, por lo que sé, no ha sido observada hasta ahora por nadie. Y es ésta: Construidas dos series, una de las cuales contenga múltiplos del senario disminuidos en una unidad, y otra con esos múltiplos aumentados en una unidad; si de esas series se extraen los que nacen de la multiplicación de un precedente por sí mismo, y de dos precedentes cualesquiera (pues puedo mostrar que todos los números compuestos contenidos en estas dos series se producen por la multiplicación de dos de los precedentes, o son los cuadrados de los precedentes), todos los demás serán todos los números primos posibles que se encuentran en la serie natural de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., exceptuando el 2 y el 3.
XXIV. Mi solución al problema de construir las raíces de las ecuaciones por medio de la porción de una curva dada, que hace no mucho tiempo apareció en el Diario Parisiense*, es legítima; y las objeciones que agitó en contrario el Autor del problema nada valen; más aún, estoy totalmente persuadido de que, si el asunto fuera llevado ante jueces incorruptibles y conocedores de la matemática, se me adjudicaría el premio prometido al primero que lo resolviera.
*Cf. Supra, n. XIII. Véanse los núms. XII-XVI.
XXV. Las objeciones del Sr. Papini (Véase Act. Erud. Lips., año de 1691, mes de mayo) contra mi móvil perpetuo** caminan con paso igual; pues más bien confirman su posibilidad que la destruyen.
** En el Apéndice al núm. I, pág. 41.
XXVI. Del solo hecho de que las curvas espirales no pueden ser geométricas, en cuanto que se cortan por una línea recta en infinitos puntos, se infiere legítimamente que son imposibles las cuadraturas y las rectificaciones del círculo, de los demás espacios y de las curvas que vuelven sobre sí mismas.
XXVII. En [el] lugar de Coronides Cl. se propone a los Competidores el siguiente Problema; cuya solución intentarán con sus métodos, ya sintéticos, ya analíticos: En alguna parte de los lugares se observa, teniendo el sol una altitud meridiana de 45 grados, que la extremidad de la sombra proyectada desde un bastoncillo a un plano horizontal erecto verticalmente, describe en ese día una parábola cuyo eje transverso iguala la longitud del bastoncillo. Se pregunta en qué lugar de la Tierra, y en qué día del año, fue hecha esta observación. R/. ----- *** Nuestra solución la pondremos en conflicto con el que lo solicite.
*** Es manifiesto a los que observen la figura (Tab. IV, n. XVII) en la que AB sea el eje del mundo; HO, el horizonte; ho, el plano horizontal; Z, el Cenit; N, el Nadir; CS, el bastoncillo cuyo ápice es C; AEQ, el Ecuador; PN, el paralelo descrito por el Sol el día buscado; PCN, el cono luminoso; ZCp, el cono sombreado, cuya sección lkm es la hipérbola hecha por el plano horizontal que tiene el eje transverso ls, igual al bastoncillo CS; es manifiesto, digo, que los ángulos SCl, lCO y HCP, así como el arco HP, son de 45º y HN de 90º. Luego NHP es de 135º, cuya mitad, PA, es de 67º 30’. Por lo cual, quitado PH, de 45º, quedan HA o BO, la elevación del polo, 22º 30’; de lo cual resulta el lugar de la Tierra. Además, quitando PA, de 67º 30’, de AAE, de 90º, queda AEP, la declinación del sol, de 22º 30’, de la cual resulta el día del año. Traducción de Mauricio BEUCHOT
Observaciones que intentan marcar la importancia de las Declaraciones lógicas sobre las proposiciones de Joannes Bernoulli. Mauricio BEUCHOT
Núms. I-V: Expone la teoría tradicional de la predicación. Núms. VI- IX: Contienen una teoría novedosa sobre la proposición cuantificada universalmente, dividiéndola en universal esencial y universal accidental (no utilizada en la escolástica). Reduce la proposición universal esencial, que para los escolásticos era la más propia (perteneciente a los modi dicendi per se), a una proposición meramente verbal. Núms. X-XIII: Prueba de una manera diferente la teoría tradicional de la conversión de las proposiciones. Núm. XIV: Innovación al introducir otra especie de oposición no considerada por los lógicos escolásticos. Núms. XV-XVI: Consideraciones interesantes sobre las reglas de verdad de las contrarias y subcontrarias. Núm. XVII: Añade una especie nueva de la conversión por contraposición. Núms. XVIII-XXI: Consideración novedosa sobre el número de los modos silogísticos y su reducción. Núms. XXII-XXIV: Análisis de las oraciones no-asertivas muy cercano a las oraciones “performativas” de Austin y Searle. Núms. XXV-XXVI: Análisis del sujeto y el predicado muy próximo a la interpretación de Geach sobre el esquema proposicional de Frege. Núms. XXVII-XXXI: Interesantes observaciones sobre las proposiciones exponibles de los escolásticos, tratando las que influyeron especialmente en el desarrollo de la física: las de “incipit” y “desinit”, y añadiendo otras: las continuativas, las intermisivas, las adventivas y las preteritivas. Observaciones que intentan marcar la importancia de las Declaraciones lógicas sobre las proposiciones de Joannes Bernoulli. Mauricio BEUCHOT
Núms. I-V: Expone la teoría tradicional de la predicación. Núms. VI- IX: Contienen una teoría novedosa sobre la proposición cuantificada universalmente, dividiéndola en universal esencial y universal accidental (no utilizada en la escolástica). Reduce la proposición universal esencial, que para los escolásticos era la más propia (perteneciente a los modi dicendi per se), a una proposición meramente verbal. Núms. X-XIII: Prueba de una manera diferente la teoría tradicional de la conversión de las proposiciones. Núm. XIV: Innovación al introducir otra especie de oposición no considerada por los lógicos escolásticos. Núms. XV-XVI: Consideraciones interesantes sobre las reglas de verdad de las contrarias y subcontrarias. Núm. XVII: Añade una especie nueva de la conversión por contraposición. Núms. XVIII-XXI: Consideración novedosa sobre el número de los modos silogísticos y su reducción. Núms. XXII-XXIV: Análisis de las oraciones no-asertivas muy cercano a las oraciones “performativas” de Austin y Searle. Núms. XXV-XXVI: Análisis del sujeto y el predicado muy próximo a la interpretación de Geach sobre el esquema proposicional de Frege. Núms. XXVII-XXXI: Interesantes observaciones sobre las proposiciones exponibles de los escolásticos, tratando las que influyeron especialmente en el desarrollo de la física: las de “incipit” y “desinit”, y añadiendo otras: las continuativas, las intermisivas, las adventivas y las preteritivas.
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