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UN TEXTO ESPAÑOL DE LOGICA DE LAS MATEMATICAS DEL AÑO 1880; INTRODUCCION A LA VERSION CASTELLANA DE LA OBRA DE ALEXANDER BAIN LA LOGICA DE LAS MATEMATICAS José M. COBOS BUENO y José M. VAQERO MATINEZUniversidad de Extremadura. Departamento de Matemáticas. Badajoz RESUMEN: Se transcribe un texto de Alfonso Ordax sobre lógica de las matemáticas. Este texto es la introducción de la edición española (1880) de la obra Lógica de las matemáticas de Alexander Bain (1818-1903), filósofo escocés. Descriptores: historia de la lógica, historia de la matemática. ABSTRACT: A text of Alfonso Ordax about logic of mathematics is transcribed. This text is the introduction of Logic of mathematics (Spanish edition, 1880) by Alexander Bain (1818-1903), Scottish philosopher. Keywords: History of logic, History of Mathematics. Introducción Juan Antonio del Val escribía en 1966: "La lógica formal, que durante muchos siglos se creyó que había salido por completo acabada de manos de Aristóteles, sufre, especialmente durante la segunda mitad del siglo XIX, una profunda renovación obra de matemáticos y no ya de filósofos. Estas corrientes llegaron con mucho retraso a España, y debemos esperar hasta 1934 para encontrar el primer tratado sobre la nueva lógica que publicó en lengua catalana Juan David García Bacca. Pero bastante antes de que este autor viniera a renovar entre nosotros el gusto por la lógica formal, a finales del siglo XIX se había ocupado de ella, dedicándole buena parte de sus trabajos, un oscuro catedrático provinciano de matemáticas, Ventura Reyes Prósper." (Val, 1966) A estas aseveraciones queremos hacer dos precisiones. Efectivamente, es el extremeño Ventura Reyes Prósper de los primeros que aparecen en la literatura científica española como estudioso de la lógica (Val, 1973), pero en este trabajo presentamos un texto olvidado de Alfonso Ordax sobre lógica de las matemáticas anterior a los escritos lógicos de Reyes Prósper. La segunda precisión sería que García Bacca no es el primero que escribe un tratado sistemático sobre lógica en España, ya que Francisco Vera, otro extremeño, publicó un excelente tratado (Vera, 1929) unos años antes. En la Biblioteca de la Real Sociedad Económica de Amigos del País de Badajoz, hemos encontrado un opúsculo de Alexander Bain titulado Lógica de las Matemáticas y traducido por Alfonso Ordax (Bain, 1880). Los personajes Alexander Bain nació el 11 de junio de 1818 en la ciudad escocesa de Aberdeen y murió el 18 de septiembre de 1903 en la misma localidad. Era asiduo al círculo de John Stuart Mill. Fue profesor de filosofía natural en Glasgow (1845-1860) y de lógica en Aberdeen (1860-1880). En 1876 participó en la fundación de la revista Mind, dirigida los primeros años por su discípulo Croom Robertson (1842-1892), como órgano de difusión de la psicología filosófica. Bain desarrolló las teorías asociacionistas en psicología siguiendo las orientaciones de Stuart Mill. En su opinión, la psicología asociacionista era, además, la base de la mayor parte de las disciplinas filosóficas, todas ellas, incluyendo la lógica, tratadas desde un punto de vista empirista. Bain aplicó el método de las variaciones concomitantes de Stuart Mill a la psicofisiología: acción de la sangre sobre el cerebro, relación entre inteligencia y puntos del cerebro, diferencia funcional entre materia gris y materia blanca, etc. Al postular que las leyes de la psicología deben ser continuas con las leyes de las ciencias naturales, admite como leyes fundamentales de la asociación la contigüidad y la semejanza. A pesar de seguir a Stuart Mill, en lo relativo a los fenómenos volitivos se le aprecia una cierta desviación del asociacionismo estricto. El pensamiento de Bain quedó reflejado en una carta que en 1851 dirige a Stuart Mill. En esta misiva le dice: "No hay nada que desee más que unir la psicología a la filosofía que están haciendo los fisiólogos para hacerles valorar sus verdaderos objetivos e impulsar sus investigaciones del sistema nervioso" (Leahey, 1998). Este pensamiento-deseo lo lleva a la práctica publicando The senses and the Intellect (1855) y The Emotions and the Will (1859). Posteriormente las refundirá y escribirá Mental and Moral Sciences (1868). Otras obras suyas son: On the Study of character (1861); A compendium of Psychology and Ethics (1868); Logic, Deductive and Inductive, 1870; Mind and Body: The Theories of Their Relation (1872); John Stuart Mill: A criticism, with Personal Recollections (1882) y -póstuma- Autobiography (1904). A pesar de utilizar con profusión datos fisiológicos, nunca realizó experimentos y su asociacionismo continuó siendo preevolucionista, aunque siempre reconoció la importancia de los trabajos de Darwin. Quizás, a al larga, la mayor influencia ejercida por Bain es su actitud práctica hacia la psicología. Sus ideas sobre la conducta la proseguirán los pragmatistas norteamericanos: Oliver Wendwll Holmes (1809-1894), Chauncey Wright (1830-1875), Charles S. Peirce (1839-1914) y William James (1842-1910). Desde el punto de vista de la lógica se moverá en la esfera de Mill, es decir se encajaría en la corriente psicologista. Así como es difícil encontrar a Alexander Bain en la historia de la lógica, todo lo contrario ocurre cuando se busca en al historia de la psicología, puesto que su influencia en ésta última ha permanecido durante bastante tiempo. El otro personaje es Alfonso Ordax Avecilla y Urrengoechea, nacido en Madrid en 1849. Fue militar, escritor, abogado y redactor de El Imparcial, uno de los periódicos más importantes de su época. Tuvo fama de polemista. Encajaría en el grupo de libre pensadores, tardo-ilustrados, que tanto aportaron para la introducción de la modernidad en España. Se distinguió por escribir obras de divulgación, aunque no exentas de originalidad. Tradujo, fundamentalmente de ediciones francesas, obras de Becker, Trollope, Dickens, Belot, Greville y Gozlan. Pero fue Alexander Bain el autor al que dedicó más tiempo. Se puede considerar que fue el introductor en España de las teorías silogísticas que se debatían en ese momento en Europa. Gran parte de su producción literaria tiene carácter científico. Autor prolífico, también escribió sobre la vida militar, destacando escritos como La ciencia de la guerra y Del carácter científico de los estudios militares. Otras obras son: De la metafísica en las Matemáticas y de las Matemáticas en la Política y Bases para la organización de una enseñanza fundamental. También escribio folletos de divulgación. Podemos destacar entre ellos "La Ciencia y el Arte", "La Lógica" y "Ensayos científicos". Casi todos ellos fueron publicados en la Revista de España. Incluso escribió una comedia en tres actos llamada El triunfo de la soberbia y contribuyó a la fundación de las revistas La Correspondencia Militar y Revista Militar Española. Pero sin lugar a dudas su mayor aportación fue la traducción de casi toda la obra de lógica de Alexander Bain. En 1883, publica Lógica inductiva y deductiva y, en 1884, Lógica aplicada. Sus conocimientos sobre la lógica que se hacía en Europa en su momento histórico se ponen de manifiesto en la introducción que escribe para su traducción de un opúsculo de Alexander Bain titulado Lógica de las Matemáticas. Este documento, que se transcribe como apéndice, demuestra que hubo personas interesadas por la lógica que se hacía en Europa durante el siglo XIX, al igual que ocurrió con otras ciencias. La obra El escrito objeto de este trabajo es la introducción a la versión española de la Lógica de las Matemáticas de Alexander Bain, que realiza el traductor Alfonso Ordax. Ubicar esta obra es retrotraernos al psicologismo cuya característica esencial es entender la lógica como descripción de la estructura de los actos de la mente (concebir, juzgar y razonar). Sin ánimo de ser exhaustivo, debemos decir que el psicologismo hunde sus raíces en ciertas definiciones aristotélicas y en el epicureísmo. En la época moderna sería Gassendi (1596-1655) quien retomaría estas ideas. Es en Alemania, en el siglo XIX, donde se va a propagar con mayor intensidad el psicologismo. Se va a hacer de la Lógica una rama de la Psicología. Lipps dirá: "La lógica o no es nada o es psicología"; "este hecho precisamente de que la lógica sea una disciplina particular de la psicología distingue una de otra con suficiente claridad"; y "la lógica es una disciplina psicológica, tan cierto que como que el conocimiento sólo se da en la psique, y el pensamiento, que llega en él a su plenitud, es un proceso psíquico" (Velarde, 1989). Los empiristas ingleses, a la cabeza de ellos estará John Stuart Mill, tomarán las directrices de los alemanes y se caracterizarán por su oposición al idealismo trascendental post-kantiano y por la pretensión de despojar a la Lógica de adherencias metafísicas y hacer de ella una disciplina empírica (aunque psicológica). Mill escribirá: "La Lógica no es una ciencia distinta de la psicología y coordinada con ésta. En cuanto ciencia, es una parte o rama de la psicología, que se distingue de ésta a la vez como al parte del todo y como el arte de la ciencia. La lógica debe sus fundamentos teoréticos íntegramente a la psicología, y encierra en sí tanto de esta ciencia como es necesario para fundar las reglas del arte" (Velarde, 1989). Mill sostendrá que no hay ciencia más que de lo particular, porque sólo lo particular es lo real: "Todo lo que se puede observar son casos individuales. Y de ellos deben ser derivadas todas las verdades generales... porque una verdad general no es otra cosa que un agregado de verdades particulares, una expresión sintética por medio de la cual viene afirmado o negado al mismo tiempo un número indefinido de hechos individuales" (Velarde, 1989). Ahora bien, hay que señalar que los hechos a los que se refiere Mill no son realidades exteriores al espíritu, no son cosa en sí; son sólo sensaciones o imágenes producidas por nosotros por el contacto con las cosas; son estados de conciencia. Para Mill el principio de la Lógica no son ni las ideas o conceptos entendidas como entidades distintas de los fenómenos al modo realista, ni las palabras, como defienden los nominalistas y luego Locke y Condillac. El razonamiento paradigmático en la lógica antigua es el silogismo. En cambio, Mill dirá que si se admite con los lógicos antiguos que la conclusión de un silogismo se sigue necesariamente de las premisas, el silogismo resulta ser un círculo vicioso. El silogismo debe ser, pues, reinterpretado. La garantía de verdad de la aserción particular de la conclusión, la condición necesaria y suficiente de la inferencia en general son los hechos concretos, que la memoria ha conservado y la imaginación representa. La proposición general (la premisa mayor) no añade un ápice a la prueba. No se infiere de lo general a lo particular, sino siempre de lo particular a lo particular. "No sólo podemos razonar de lo particular a lo particular, sin pasar a través de aserciones generales, sino que razonamos siempre así. Todas nuestras primeras inferencias son de esta naturaleza" (Velarde, 1989). Las consideraciones de Mill sobre la naturaleza de la matemática han de entenderse como comprendiendo ésta la Geometría y la Aritmética. Frente a la concepción kantiana de los axiomas de Euclides como verdades a priori, Mill defiende su carácter experimental: tales axiomas son "verdades experimentales; generalizaciones a partir de la experiencia". La verdad de estos axiomas se basará en la observación y en la experiencia. Así dirá: "La proposición, dos líneas rectas no pueden encerrar un espacio -o en otras palabras, dos líneas rectas que se cortan una vez no se cortan de nuevo, sino que continúan divergiendo-, es una inducción a partir de la evidencia de nuestros sentidos" (Velarde, 1989). Alexander Bain toma estas doctrinas casi al pie de la letra, por lo que sus obras sobre lógica se enmarcarán en la órbita de John Stuart Mill. Estas teorías serán rebatidas por Frege y Russel (a pesar de que Mill era su padrino).
Apéndice documental A continuación, transcribimos la introducción escrita por Alfonso Ordax para la obra de Bain (1880). Hemos respetado la ortografía del original, así como los nombres extranjeros equivocados que aparecen en el original. Lo que se transcribe ocupa las páginas 7-16 de la obra original. "INTRODUCCION. Alejandro Bain esplica la asignatura de Lógica en la universidad de Aberdeen. Es un psicólogo acreditado, y pertenece á la escuela esperimental inglesa, que rechaza como trascendentes las conclusiones espiritualista y materialistas, considera la percepción como la obra comun del sujeto y del objeto, y emplea, por consiguiente, el doble método subjetivo-objetivo. Entre otras teorías, se deben á Bain la de la convertibilidad de las fuerzas mentales en físicas, y aun de las mentales entre sí, y la esplicacion de nuestra percepcion del espacio. 'Para Bain, dice Taine, esta percepcion tiene por elementos primitivos nuestras sensaciones. Y hé aquí un descubrimiento positivo y definitivo, porque destruye de igual modo la argumentacion de los que pretenden, con Kant y Schopenhauer que la idea de espacio es un simple producto de nuestra estructura mental, y la de los que sostienen con Reid y Royer-Collard que entre la extensión y la sensacion no puede concebirse nada comun, y que si la primera provoca en nosotros la percepcion de la segunda, es por un misterio impenetrable.' Pero Bain es ante todo un psicólogo que solo incidentalmente aborda las cuestiones metafísicas. 'Sus dos obras -dice Ribot- Los sentidos y la inteligencia, Las emociones y la voluntad, le han colocado en primera linea entre los psicólogos ingleses.' Stuard Mill observa 'que ha llevado la investigacion analitica de los fenómenos mentales hasta donde era hoy posible, y Spencer dice: Bain ha hecho la mejor historia natural del espíritu que se ha escrito hasta la fecha, y la coleccion más preciosa de materiales indispensables á los que hayan de dar en adelante á la psicología una organizacion completamente científica.' Posteriormente, Bain ha publicado otras dos obras de importancia análoga: El espíritu y el cuerpo, y una Lógica de la que dice M. Compayré, su traductor, que ha perfeccionado la de Stuard Mill, y M. Ribot que es un Manual clásico puesto al corriente de los descubrimientos modernos. La Lógica, en efecto, bajo el plan de Bain, ha dejado de ser una metafísica soñolienta; y el silogismo, imperfectamente concebido por Aristóteles, y desacreditado por las especulaciones escolásticas, ha vuelto á recobrar su legítimo influjo, como un escelente instrumento de análisis intelectual. Deductiva é inductiva á un tiempo, formal y material, la Lógica de Bain ha conciliado á Kant con Bacon. Su estudio no se ha circunscrito á la dialéctica: ha entrado por la induccion en más útiles investigaciones, y se ha hecho práctico; pero sin perder su carácter dominante de abstraccion; sin perder el carácter que coloca á la Lógica con las Matemáticas en el rango de ciencia preliminar ó de preparacion para todas las restantes. Bain ha considerado á la Lógica, bajo tres aspectos distintos: 1º como la ciencia teórica y abstracta de las leyes fundamentales de toda afirmacion; 2º como la ciencia práctica de todas las formas de la prueba; 3º como un sistema de métodos aplicables á la investigacion y al descubrimiento de la verdad en toda ciencia. Y en conformidad con estas ideas, Bain ha cerrado su obra con una Lógica de las ciencias, exposicion sumaria de los principios y métodos de cada una de las fundamentales ó abstractas de las concretas y de dos de los artes científicos ó ciencias prácticas más importante. 'Estos estudios de Lógica aplicada, dice M. Compayré, no solo pueden suministrar indicaciones útiles á los hombres científicos, sino que han de contribuir mucho á desenvolver esa cultura general del espíritu que era el fin predilecto de los lógicos de Port-Royal, y que no debe sacrificarse enteramente á ideas absolutas de erudicion estrecha y ciencia especial.' Esta observacion condensa en parte nuestro propósito al publicar la 'LÓGICA DE LAS MATEMÁTICAS,' que traducimos con el auxilio principalmente de la edicion-Compayré. En el estudio que sigue, Bain comienza diciendo que las Matemáticas ofrecen el ejemplo más acabado de una ciencia formal deductiva. Pero parece ocioso decir que Bain no emplea estos términos en el sentido absoluto que algunos metafísicos. En otro lugar de su Lógica se esplica con bastante claridad sobre este punto. A su juicio, las Matemáticas son sin duda un modelo de razonamiento formal ó abstracto. Pero las abstracciones matemáticas, como toda clase de abstracciones, no se producen sin relacion á objetos concretos. Lo concreto y lo abstracto están indisolublemente unidos en nuestro espíritu. La forma se realiza siempre en alguna materia. Los círculos de Euclides tienen tinta color y una situacion determinada. Los símbolos de la Aritmética son tambien materiales, aunque su forma particular no tenga ningun valor representativo; ciertas reglas matemáticas, como la de menos, multiplicado por menos, da más, serian consideradas como paradojas si no se comprobasen en la esperiencia; y finalmente, el sistema decimal, la tabla de multiplicacion, las cantidades negativas del álgebra, las cantidades infinitesimales y todas las operaciones que más absolutamente parecen, tienen su origen último en los axiomas, que son hechos inductivos. Otro tanto opina Bain de la deduccion. No hay un razonamiento deductivo, independiente, aislado en absoluto, de toda induccion. La deduccion y la induccion son operaciones contínuas; son partes de un mismo todo. La deduccion real, la estension de un principio á casos nuevos, implica el exámen de estos casos en su realidad concreta. Y cuando Bain dice que las Matemáticas son un modelo de ciencia deductiva, no quiere indicar otra sino que, partiendo estas ciencias de ciertos hechos fundamentales, se desenvuelven por la combinacion incesante de estos solos hechos, al contrario que la química y la fisiología, obligadas constantemente á formar inducciones. Entendido así el razonamiento matemático, fácil es inferir que Bain no comparte las sutilezas dialécticas de la geometría griega, ni las presunciones del moderno subjetivismo. Su criterio no difiere esencialmente del de los matemáticos que aspiran á simplificar y reorganizar esta ciencia bajo una base puramente experimental. Y á la verdad que sin una rigurosa aplicacion de este método, la Babel matemática parece inminente. En la concepcion kantiana, el tiempo interviene como forma del entendimiento productora de la idea de número (Wronski. Introduction a la philosophie dès mathématiques et technie de l'algoritmie, pág. 4, París, 1808); Duhamel niega la realidad del espacio (Duhamel. Dès methodes dans lès sciences de raisonements, Parte II, pág. 4 y siguièntes); Nodier dice que el hombre no puede saber lo que es el espacio ni el tiempo (Bour. Cours de mecanique et machines, etc., pág. 1, París 1865); Montferrier (Montferrier. Diccionaire etc., Philosophie dés mathematiques) pretende que en las Matemáticas se crea algo que no existía antes en la naturaleza; Riemann (Tilly. Essay sur lès principes fondamentaux de la geometrie et de la mecanique, Burdeos, 1879) imagina espacios de dos, cuatro ó más dimensiones, niega el aumento indefinido de la distancia, esto es, el espacio infinito; y en sus concepciones geométricas, la recta es un círculo, el plano una esfera, y las lineas rectas pueden encontrarse en dos puntos sin coincidir por esto; la geometría gaussiana rechaza el famoso postulado de Euclides, que encierra la teoría de las paralelas, y por tanto, la ley de la similitud, base de la astronomía; se pretende definir lo infinitamente pequeño, diciendo que es un grado estremo de pequeñez tendiendo á adquirir una cantidad, que indefinidamente tiende hácia cero; Delbeut (Delbeut. Prolgomènes philosofiques de geometrie, etc. Liege, 1860) define la línea recta una línea homogenea; Legendre, observa que es la distancia más corta entre dos puntos (Legendre. Elements de geometrie, París, 1813), y otros, en la imposibilidad de definirla, la rechazan de entre las nociones fundamentales de la geometría; el objeto de esta es ordinariamente circunscrito á la extension; y el punto, naturalmente inextenso, resulta incomprensible; en algunas obras se define como el resultado de un proceso ideal que tiende á reducir indefinidamente un espacio finito; continúa definiéndose la tangente por el carácter distintivo de la secante y en contradiccion con una de las principales propiedades de la línea recta; no se ha salido aun de una definicion negativa de la línea curva; el álgebra no es distinguida de la aritmética más que por el empleo de letras, en vez de cifras; los términos cantidad y magnitud se emplean como sinónimos; la enseñanza carece de método lógico; se malgasta un tiempo precioso en sutiles disertaciones sobre las curvas, las superficies de segundo grado y otras especulaciones igualmente estériles, y á la terminacion de sus estudios oficiales, el alumno reflexivo se encuentra con que le falta muchísimo que aprender, y más aun que olvidar. Discutiendo con Spencer sobre los limites de la Lógica, dice Bain que si su estudio hubiera de reducirse al de los diferentes aspectos del conocimiento, -diferencias ó relatividad, semejanza ó generalidad-; á las leyes de la consistencia, de la inferencia inmediata, de la uniformidad de la naturaleza y á las deducciones que implican, estos son hechos primitivos, comunes á todas las ciencias, y cuya determinacion debería precederlas á todas. A la verdad, no nos esplicamos cómo en toda esposicion científica no se parte desde luego de esa relacion fundamental que constituye una primera division de todas las cosas por su máximun de diferencia; de la distincion, en fin, entre el sujeto y el objeto; entre algo que no confundimos con nosotros, entre algo que se nos revela por impresiones de resistencia, extension, color, tacto, sonido, olor, gusto, frio, calor; y algo que nos parece ser nosotros solos, y que se traduce por estados especiales de conciencia, que denominamos sentimientos, voliciones, ideas. Determinar este hecho es plantear la cuestion del mundo esterior bajo su aspecto puramente científico, es decir psicológico. ¿Pero de qué naturaleza es este hecho? ¿Es realmente independiente de nosotros, ó es solo un producto, una forma de nuestra constitucion mental? Esta es la cuestion metafísica que no cabe en la ciencia y con la que no es posible la ciencia, porque el idealismo escéptico de Hume, de Berkelei, de Kant, y el sensualismo de Locke, de Condillac, de Broussais, conducen á la negacion absoluta de uno de los dos términos esenciales á toda investigacion científica: el mundo exterior y la espontaneidad intelectual del hombre, su facultad de organizar experiencias. La roca Tarpeya de las ciencias está en uno de sus extremos á que propenden según su método. Así en las Matemáticas el riesgo mayor está en el subjetivismo, y si no se empieza por determinar el carácter objetivo de sus hechos fundamentales, tiempo, movimiento, espacio, punto; si se pretende que se pueden crear cosas con palabras, y que la certidumbre absoluta está en la razón humana, las pomposamente llamadas ciencias exactas acabarán por ser las más inciertas de todas las concepciones transcendentales. Bajo este aspecto, la LÓGICA DE LAS MATEMÁTICAS de Bain, nos parece uno de los trabajos mejor inspirados en el progreso positivo de la ciencia de los números y de las magnitudes. La operación fundamental de toda ciencia consiste en la determinacion de su objeto. ¿Cuál es el objeto de las Matemáticas? La cantidad, dice Bain, en un hecho primitivo, sin antecedentes. Todo estado de conciencia tiene dos fases; es una pareja, un cambio, una transicion. Y en esta transicion, del calor al frío, por ejemplo, nuestro espíritu aprecia grados diversos de duracion é intensidad, de más ó de ménos. Hé aquí pues la cantidad. Bain la divide en contínua y discontínua; no incurre en el error de algunos autores (Bourdon. Elements de aritmetique, etc. p. I.) que emplean las espresiones de cantidad y magnitud como sinónimas. Girad, apoyando sobre la distincion de estas palabras, una division fundamental de las Matemáticas, define la aritmética, ciencia de la cantidad, reservando el término de magnitud para la algorithmia (Girard. Philosophie scientifique, pág. 391). Bain no ha creido oportuno abordar una division lógica de estas ciencias; pero su distincion de la cantidad en contínua y discontínua, es un buen punto de partida para algo semejante á lo que propone con gran brillantez Girard. Nosotros seguiríamos llamando á las Matemáticas ciencia de la cantidad; pero distinguiríamos en la cantidad el número (cantidad discontínua) y la magnitud (cantidad contínua). El resultado sería tal vez el mismo que desea Girard; pero no restringiríamos la extension de la voz CANTIDAD, haciéndola sinónima de la de número. Girard hace también una distincion entre la identidad y la igualdad, que Bain no determina al ocuparse de este atributo esencial de las Matemáticas. Spencer distingue dos clases de igualdad: igualdad de cosas (dos triángulos iguales) é igualdad de relaciones (dos triángulos semejantes). El criterio de Bain es ante todo experimental. No atribuye otro origen que la experiencia á las nociones fundamentales de número, igualdad, adicion. De éstas derivan las de total, parte, sustraccion, multiplicacion, division, etc. En la determinacion del objeto del álgebra Bain no parece separarse de los matemáticos que, con Bertrand, la consideran solo como una simplificacion y generalizacion de las operaciones aritméticas (Bertrand. Traité d'algebre, París 1879). Sobre esto observa Comte que decir que el álgebra es la parte de las matemáticas que emplea signos generales para designar cantidades, es tan nimio como decir que la Astronomía es la parte de la física que se sirve de anteojos para observar los astros, no obstante que los signos generales sean muy importantes en álgebra como los anteojos en astronomía (Auguste Comte. Essais de philosophie mathemátique, pág. 70). Bain no opina sin duda como Montferrier, que el carácter distintivo de la definición matemática es crear, y no define, sino, antes al contrario, declara indefinibles las nociones de punto, línea, paralelismo, superficie, sólido, etc. Así no se vé obligado á excluir la línea recta, como hacen algunos geómetras en la imposibilidad de definirla. Pero ¿á que este afan de definirlo todo? El tiempo, el movimiento, el espacio, son indefinibles; ¿y podrá decirse por esto, en puro rigor científico, no en metafísica, que son simples concepciones nuestras, que no existen fuera de nosotros? ¿No es evidente, al contrario, su existencia objetiva? ¿Qué falta hace buscar una esplicacion verbal de hechos, tan generales y constantes y de tan fácil conocimiento por la simple experiencia personal? El tiempo y el espacio son atributos comunes al sujeto y al objeto; influyen como causas eficientes. En las combinaciones químicas, el tiempo entra en la causalidad. La presion atmosférica es también causa de diferentes fenómenos. El tiempo es la ley de nuestra sucesion mental. Adquirimos esta nocion por la experiencia de las cosas contínuas ó durables. El espacio, con ó sin materia, se nos revela por el movimiento, que á su vez se nos manifiesta en las diversas modificaciones de la accion muscular; y hasta el espacio vacio, con relacion al movimiento exclusivamente, es tambien una realidad. Pues otro tanto sucede con la linea recta; es perfectamente objetiva, y puede hacerse una determinacion de sus propiedades esenciales. Bain señala dos: la coincidencia y la distancia más corta, creyendo esta última demostrable por la proposicion 'dos lados de un triángulo son más grandes que el tercero.' Girard encuentra tambien en la línea recta tres propiedades esenciales, y las reduce todas en último término á la ley que llama de la inercia lineal por extension de la ley de causalidad. Los axiomas de Euclides han venido modificándose, ó aumentándose, ó transformándose incesantemente. Bain los analiza con un criterio seguro. Así como Ueberweg, pero más sistemático, Bain quiere que los fundamentos de las Matemáticas sean hechos. Un axioma es, pues, un hecho. De quince que examina no admite más que dos, y dice que deben colocarse al principio de la aritmética. En el postulado de Euclides sobre las paralelas, Bain adopta la proposicion de Morgan. Nos parece de más fácil demostracion, hasta donde es posible, la de Becker: 'Por cada punto del espacio pasa una recta cuyos puntos estan á igual distancia de otra recta cualquiera, trazada á capricho;' ó mejor aun la de Girard: 'En un plano, el lugar de los puntos situados á igual distancia de una línea recta es una línea recta.' Tal es el criterio general que domina en este estudio; lo publicamos en la sincera creencia de que esta nueva direccion matemática puede, influyendo tarde ó temprano en los métodos de enseñanza, contribuir á formar una generacion más lógica que la nuestra, y lo que parecerá paradógico, pero es demostrable, más positiva y más generosa y delicada á la vez. ALFONSO ORDAX."
BIBLIOGRAFÍA Bain, A.: 1880, Lógica de las Matemáticas, traducido por Alfonso Ordax, Madrid, Diego Pacheco (ejemplar consultado: sign. 53-29 de la Biblioteca de la Real Sociedad Económica de Amigos del País de Badajoz). Bochenski, I.M.: 1966, Historia de la Lógica formal, Madrid, Gredos. Ferrater Mora, J.: 1990, Diccionario de filosofía, Madrid, Alianza. Leahey, T.H.: 1998, Historia de la Psicología, 4ª ed., Madrid, Prentice Hall. Val, J.A. del: 1966, 'Un lógico y matemático español del siglo XIX: Ventura Reyes y Prósper', Revista de Occidente, t. XII (segunda época), Enero-Febrero-Marzo, 252-261. Val, J.A. del: 1973, 'Los escritos lógicos de Ventura Reyes y Prósper (1863-1922)', Teorema III, 315-354. Vega Reñón, L.: 1997, Una guía de historia de la Lógica, Madrid, UNED. Velarde Lombraña, J.: 1989, Historia de la Lógica, Oviedo, Servicio de Publicaciones Universidad de Oviedo. Vera, F.: 1929, La Lógica en la Matemática, Madrid, Paez.
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